[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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61: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:58:31.07 ID:JrhjRl4x >>54 追加 さて ・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが ・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」 　一方 　「0, 1, 2, 3, ............, ω」 　「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」 （ここでノイマン構成では 　0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている） 　となる ・二つを比較すると、 　正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない 　順序数の無限下降列には、最小元が存在する 　という違いがある 　これ、大きなポイントでしょうね（＾＾ ・あとは、これをどう解釈するのかだけです 　１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、もともと、正則性公理には反していない 　２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す） 　３）クラスの違いで考える。有限順序数の集合の属するクラスと、ωの集合の属するクラスとでは 　　クラスが別で、クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える（∵ 元々ZFCは、クラスを扱えない） この１）〜３）のどれか（あるいは全て） こんなところじゃないでしょうか （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (抜粋) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0 ・∀xについて、∈がx上well-founded ・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/61

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