[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
233(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)10:58 ID:K6AlmfoH(2/5) AAS
>>230
念押ししておきたいが
１）おれが、定義を書けるかどうかと、
大学以上の数学として、その数学概念が確立されているかどうかは別
判断基準間違っているよ
そんな判断基準なら、現代数学の99％は消滅するじゃないｗ(゜ロ゜;
２）逆に、おれは、あなたを基準にしていない
省2
234: 2019/10/10(木)11:19 ID:64e05J/b(3/5) AAS
>>232
もちろん過去の偉人が証明した結果はいくらでも利用してください。
その事を非難した事はありません。
既に証明されている事実はいくら使っても結構です。
その上でΩを構成してください。
235(3): 2019/10/10(木)11:35 ID:64e05J/b(4/5) AAS
>>233
結構ですよ。
証明はわからないがこんな結果はあるというなら使っていただいて結構です。
少なくとも私は順序数に符合付ける方法
Z(0),Z(1),‥,Z(ω),Z(ω+1),‥
で
Z(0)=0
省9
236(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:39 ID:K6AlmfoH(3/5) AAS
>>233 補足
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
省15
237(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:40 ID:K6AlmfoH(4/5) AAS
>>236
つづき
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:ring-theory-japan.com
VON NEUMANN REGULAR RINGS WITH COMPARABILITY MAMORU KUTAMI Yamaguchi University 久田見 守（山口大学）第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
省13
238(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:41 ID:K6AlmfoH(5/5) AAS
>>237
つづき
上記の出どころ
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
久田見 守 researchmap
外部ﾘﾝｸ:ring-theory-japan.com
環論ホームページ
省7
239(1): 2019/10/10(木)19:13 ID:67UjvVEp(1) AAS
>しばし待てば定義を与える
詐欺師が約束守る訳ないじゃんｗ
この詐欺師、今まで何度約束を破ったことかｗ
240: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)20:21 ID:JCH5uyU5(4/7) AAS
>>239
(引用開始)
>しばし待てば定義を与える
詐欺師が約束守る訳ないじゃんｗ
この詐欺師、今まで何度約束を破ったことかｗ
(引用終り)
？
省10
241(1): 2019/10/10(木)20:31 ID:JxHMvoEF(1/3) AAS
>>224
＞それ、下記の”Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett”に書いてあるよ
英語読めてる？
>VII.Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set,
>and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
省6
242(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)20:36 ID:JCH5uyU5(5/7) AAS
>>236-237
そもそも、>>235って、論点ずれていると思うよ
>>236-237に引用したように
１）そもそも、無限にもいろいろありましてｗ
無限を扱う公理の強さによって、多種の無限が生じ、区別ができないこともある
２）その中で、ZFCのフルパワー選択公理を採用すれば
デデキント無限などで、可算無限は、一意に決まるのです（整列可能定理でもありますし）
省15
243(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)20:42 ID:JCH5uyU5(6/7) AAS
>>241
(引用開始)
ツェルメロの自然数における無限公理は
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }
の存在を述べているだけ
{…{∅}…}なんて全然出てこないけどな
(引用終り)
省12
244: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)20:46 ID:JCH5uyU5(7/7) AAS
「ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}」
これを超限回（あるいは可算無限回と言っても良いだろう）繰返した存在
それ以外に何がある？
ノイマン構成に同じ
ただ、後者関数の定義が違うのみ
245(1): 2019/10/10(木)20:52 ID:JxHMvoEF(2/3) AAS
>>243
なんか、全然見当違いな方向に暴走してない？
Zermeloの自然数の延長としてωを構成すると
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }になるって書いてある
君のいう超限回（可算無限回）繰返しなんて全然出てこない
＞自然数Nには、有限の元ｎ達が全部含まれている
＞それを超える元を、無限公理は許容しているのです
省2
246: 2019/10/10(木)20:58 ID:JxHMvoEF(3/3) AAS
質問
超限回（可算無限回）繰返しっていうけど
それで出来た集合Xって
X＝{x}となるxを持つの？
247: 2019/10/10(木)23:14 ID:64e05J/b(5/5) AAS
これは>>245さんが正しいね
> (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
>The natural numbers are represented by Zermelo as by ∅, {∅}, {{∅}}, …,
>and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
この文章は
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }
という集合が存在することが無限公理から証明できるという意味にしか取れないね。
248: 2019/10/11(金)02:03 ID:HNYXw+8U(1/2) AAS
数学も英語もできない工業高校卒
249(1): 2019/10/11(金)03:40 ID:HNYXw+8U(2/2) AAS
（よってこの無限集合は ∅, {∅}, {{∅}}, … を含んでいなければならない。）
ツェルメロにより自然数は ∅, {∅}, {{∅}}, … と表わされおり、無限公理は
これらのうちの一つの集合を我々に与える。
{…{∅}…}？ はぁ？ また妄想？
250(1): 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)06:47 ID:6s83KSTC(1/9) AAS
>>249
＞ツェルメロにより自然数は ∅, {∅}, {{∅}}, … と表わされおり、
＞無限公理はこれらのうちの一つの集合を我々に与える。
「ツェルメロにより自然数は ∅, {∅}, {{∅}}, … と表わされおり、
無限集合はこれらの集合を我々に与える」
でいいだろ
251(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)06:49 ID:aKfhohl9(1/4) AAS
>>242
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
省14
252(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)06:50 ID:aKfhohl9(2/4) AAS
>>251
つづき
理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。
この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。
なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。
さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。
省12
253(1): 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)06:53 ID:6s83KSTC(2/9) AAS
>>250-252
それ、安達のスレで書けよ
奴は、可算無限はともかく、非可算無限を認めたくないみたいだから
254: 2019/10/11(金)06:59 ID:6s83KSTC(3/9) AAS
{…{∅}…}（無限個の｛｝）を正当化するのに
ノンスタンダードモデルを持ち出したのなら
見当違いも甚だしいな
そのモデルにおいては自然数、つまり「有限」だろう？
>>235は、ツェルメロの自然数n’の延長として
極限順序数ω’を、{…{∅}…}として構成するなら
どうやって定義するのか、尋ねてる
省3
255: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)07:03 ID:6s83KSTC(4/9) AAS
余談
BABYMETALのDa Da Dance すげぇｗ
外部ﾘﾝｸ[html]:babymetalmatome.com
でもBxMxCはやっぱ変態だｗ
外部ﾘﾝｸ[html]:babymetalmatome.com
256(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)07:03 ID:aKfhohl9(3/4) AAS
>>252
(引用開始)
歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。
モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。
いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。
(引用終り)
省12
257(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)07:11 ID:aKfhohl9(4/4) AAS
>>253
『おっさんずラブ』ならぬ、おっさんずゼミか？(゜ロ゜;
おれは、そんな趣味ないよｗ（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
おっさんずラブ
(抜粋)
『おっさんずラブ』は、2016年からテレビ朝日系列において放送されているテレビドラマシリーズである。同年12月31日（30日深夜）に『年の瀬 変愛ドラマ第3夜』として単発放送された[1][注釈 1]後、「土曜ナイトドラマ」枠で2018年に第1シリーズ[2]、2019年に第2シリーズが放送予定である。
省5
258: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)07:13 ID:6s83KSTC(5/9) AAS
>>256
馬鹿「俺のいう無限回の{}を重ねた{…{∅}…}は超準的な自然数なんだよ（キリッ）」
利口「ふーん、でもそれ、あくまで自然数であって超限順序数じゃないじゃん（ワロス）」
259(1): 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)07:15 ID:6s83KSTC(6/9) AAS
>>257
＞『おっさんずラブ』
意味がわからん
一言だけいっとくと、貴様、安達は自分より下だと思ってるみたいだけど
はっきりいって、貴様の数学の理解度は安達よりもはるかに下だよｗ
260: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)07:20 ID:6s83KSTC(7/9) AAS
安達は世間的な無限否定論者
馬鹿はオカルト的な無限肯定論者
ここでオカルト的と言ってるのは
「現代数学の無限とは全然異なる」
という意味ｗ
261(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)10:29 ID:RRsRScoq(1/4) AAS
>>251
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキント無限
(抜粋)
ZFにおけるデデキント無限
省15
262(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)10:29 ID:RRsRScoq(2/4) AAS
>>261
つづき
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACよりもっと弱いものである。すなわちこの同値性を仮定してもACは導かれない。
とくに可算無限な部分集合を持たない無限集合の存在するようなZFのモデルが存在する。このモデルでは無限だがデデキント有限である集合が存在する。以上よりそのような集合はこのモデルにおいて整列不可能である。
可算選択公理CC（ACω）を仮定すればいかなる無限集合もデデキント無限であることが証明される。しかしながら、この同値性は、実際にはCCより真に弱い。（ZFの無矛盾性の仮定のもとで）CCは成立しないが2つの無限集合の定義の同値性が成り立つZFのモデルが存在する。すなわちこの同値性を仮定してもCCは導かれない。
可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
省4
263: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)10:31 ID:RRsRScoq(3/4) AAS
>>259
一言だけいっとくと、貴様、安達は自分より下だと思ってるみたいだけど
はっきりいって、貴様の数学の理解度は安達よりも上だとしても、ほんの少しだよｗ(゜ロ゜;
264(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)10:48 ID:RRsRScoq(4/4) AAS
>>262
念押しな（＾＾
(引用開始)
可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実際、任意の有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。
可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合はデデキント無限である
(引用終り)
265: 2019/10/11(金)11:02 ID:YULRpgNc(1/2) AAS
>>264
からの何が言いたいん？
266(4): 2019/10/11(金)16:13 ID:YULRpgNc(2/2) AAS
そもそも
X={…{∅}…}
なんて集合を考えたら
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
とおくときF(X)には単元集合(singleton)しか許してもらえないんでは？
表記的に？
どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
267: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)19:05 ID:6s83KSTC(8/9) AAS
>>262 >>264
やれやれ、馬鹿は全然理解してないくせに
二言目には選択公理と絶叫する悪癖があるなｗ
だいたい、聞かれてるのはωにあたる
ツェルメロ構成の集合をどうやって
定義するかだろ
何の考えもなく
省3
268: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)19:08 ID:6s83KSTC(9/9) AAS
馬鹿は
0’={}
1’={{}}
2’={{{}}}
…
だから
ω’も{…{}…}に違いない
省1
269(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:41 ID:0oc9Ztsl(1/28) AAS
>>112 補足
∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
2014年12月23日 Togetter
省20
270(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:42 ID:0oc9Ztsl(2/28) AAS
>>269
つづき
USB^800 @usb_usb
（もうちょっと発展させれば、修士論文あたりのネタにはできそう…）
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@usb_usb @MarriageTheorem あっ、もう詳細が書いてありましたね。俺の考えた筋は少し違ってて、木[0,1]^{<ω}を下向きの半順序だと思ってこれと同型な推移的集合Tが存在する集合論でWF(T)を作りTの節の後続者を入れ換える置換の群で置換モデルを作るの。
USB^800 @usb_usb
省12
271: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:42 ID:0oc9Ztsl(3/28) AAS
>>270
つづき
はかり @mg_toHKR
@tenapyon わかりやすい説明ありがとうございます！
可算選択公理は最初から可算無限個の集合がないと使えないんですね・・・
本当にありがとうございます、勉強になりました。
ゼルプスト殿下 @tenapyon
省4
272(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)07:50 ID:0oc9Ztsl(4/28) AAS
>>266
ども、レスありがとう
>どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
同意です
補足説明します
普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω
に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照）
省25
273(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)08:02 ID:0oc9Ztsl(5/28) AAS
>>272
補足
縦に並べると
1,1n,1e,Σe1
2,2n,2e,Σe2
・
・
省7
274: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)08:07 ID:0oc9Ztsl(6/28) AAS
>>272 追加
ここらは、全部下記の”Stanford Encyclopedia of Philosophy”に、類似のことが書かれていると思うよ
（>>224より）
外部ﾘﾝｸ:plato.stanford.edu
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
省8
275(8): 2019/10/12(土)08:10 ID:Ty9mG3gK(1/4) AAS
>>272
では
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在してしまうのでは？
∵) 最大値がないとする。
任意にmをとるとき長さmの列
xmn‥∈ xm3∈ xm2∈xm1, Ω=xm1
省7
276(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:18 ID:0oc9Ztsl(7/28) AAS
>>275
どうも。レスありがとう
>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？
別に言い訳するつもりはないけど
>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです
省31
277: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:26 ID:0oc9Ztsl(8/28) AAS
>>276 タイポ訂正
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
↓
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
（二箇所）
な（＾＾；
278(1): 2019/10/12(土)09:26 ID:9mz947Hb(1/3) AAS
>>276
>>275の証明中にでてくる集合にはF(Ω)しかでませんよ？
向き関係ありません。
まだ無限列は出てきてないし。
279(1): 2019/10/12(土)09:30 ID:9mz947Hb(2/3) AAS
集合の元ね。
F(Ω)の元しかありません。
もし>>275の証明に納得がいかないなら証明中の
××はsingletonであるから
という下りのところがおかしいという説ですが、ここにF(Ω)の元しか出てこないのはわかりますか？
280: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:37 ID:0oc9Ztsl(9/28) AAS
>>272-273 補足
ツェルメロ構成での前者関数eの集合和Σen は、
>>276との関連で言えば
包含関係での⊂順序にはなるが、
帰属関係の∈順序にはならない
それは、公理という視点では、問題でしょうね
（∵ ∈だけで話を済ますのが綺麗。⊂は、定義されていないのだから）
281: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:45 ID:0oc9Ztsl(10/28) AAS
>>278-279
？
（>>272より）
ツェルメロ構成：
後者関数e；suc(a)e := {a} （aのシングルトン {a} ）
これで a∈ {a}
つまり、前者集合e ∈ 後者集合e
省1
282(1): 2019/10/12(土)10:00 ID:9mz947Hb(3/3) AAS
いや、>>275の証明について行ってるんですよ。
では順に行きましょう。
xm1がΩなので共通なのはいいでしょ？
次にxm2(m≧2)について全てのmについて
xm2∈x1=Ω、かつΩがsingletonなのでxm2は共通。
すなわち
x22=x32=x42=‥‥
省1
283(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)10:06 ID:0oc9Ztsl(11/28) AAS
>>269
＜補足参考＞
従属選択公理(axiom of dependent choice)は、ADCか
外部ﾘﾝｸ[html]:alg-d.com
従属選択公理について 壱大整域 2013年10月25日
(抜粋)
定義 次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という．
省21
284(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)10:07 ID:0oc9Ztsl(12/28) AAS
>>282
どうぞ、>>275の方とお願い致します。
285: 2019/10/12(土)10:12 ID:fCB4Xy97(1/2) AAS
>>284
あれ？認められないの？
286: 2019/10/12(土)10:13 ID:fCB4Xy97(2/2) AAS
なぜ？
287(3): 2019/10/12(土)10:30 ID:zrApsl4A(1) AAS
>>275みたいに全部数式だと無理なのかな？
長さに上限がないとすると各自然数に対して
Ω=x11
Ω=x21∋x22
Ω=x32∋x32∋x33
Ω=x41∋x42∋x43∋x44
‥‥
省6
288(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)11:56 ID:0oc9Ztsl(13/28) AAS
>>287
申し訳ないが、意味が取れない
１）下記、Zermelo (1908b) ”(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member”
２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
３）で、Zermelo (1908b)では正則性公理は、無かった（∵1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された）
４）しかし、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成 に、正則性公理からの規制（有限回に限られる？）があると、そういう話はないでしょ？
じゃ、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成が、これの超限回繰返しが可能なわけですよね
省17
289(1): 2019/10/12(土)12:08 ID:Ty9mG3gK(2/4) AAS
>>288
どの行がわからないですか？
仮定は降鎖列の長さに最大値が無いですね。
では長さ1の列があるからそれを
Ω=x11
とおくのはいいですよね？
次に長さ2の列もあるから
省7
290: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)13:52 ID:0oc9Ztsl(14/28) AAS
>>289
（>>287において）
１）定義が無い。 x11とは？ これは何ですか？
２）Ω=x11、Ω=x21∋x22？ これは何ですか？
「Ω=x11」と「Ω=x21∋x22」とで、二つのΩは別ものですよね、明らかに。これ、記号の濫用ですか？
３）x11∋x22∋x33∋‥‥？ これは何ですか？
例えば、「x11∋x22」の証明は？ 略証でもいいけど
291(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)13:59 ID:0oc9Ztsl(15/28) AAS
>>288
> ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
補足
繰返すが、どんな集合であれ、対の公理で「a → {a}」が言えるのです
これは、公理だから、無制限に成立します（有限に限らない）
aが、たとえ無限集合でも、まとめて、the singleton set {a} にできる
回数は、無制限です
省19
292(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)14:00 ID:0oc9Ztsl(16/28) AAS
>>291
つづき
（追加参考）
外部ﾘﾝｸ:www.math.okayama-u.ac.jp
Prof. Dr. YUJI YOSHINO
Department of Mathematics
Faculty of Science
省30
293(4): 2019/10/12(土)14:01 ID:Ty9mG3gK(3/4) AAS
ではもう少し詳しく書きます。
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
この仮定の元に自然数mに対して
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
がいずれも空集合にならない事は理解できますか？
省3
294(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)14:30 ID:0oc9Ztsl(17/28) AAS
>>292
> 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
そうそう、日本語では、基数詞（簡単には個数を数える）と序数詞（順番）との区別が、助数詞（個・番など）でなされる
前者は１個２個で、後者は１番２番など
数学においては、”nth”は略して書かないので、日本語記法に近い
が、ノイマンとかツェルメロとか、彼らの思考は基数詞（Cardinal）と序数詞(Ordinal)とが峻別されているのです、きっと（＾＾
だから、かれらの文書を読むとき、「Cardinalの話なのか、Ordinalの話なのか」を、日本人はしっかり意識しておかないと
省19
295(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:04 ID:0oc9Ztsl(18/28) AAS
>>293
(引用開始)
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
(引用終り)
その記法は、混乱の元と思います
省25
296(1): 2019/10/12(土)15:05 ID:Ty9mG3gK(4/4) AAS
>>295
好きに番号はつけて下さい。
>>293の各X[m]がいずれも空集合にならない事は理解できますか？
297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:26 ID:0oc9Ztsl(19/28) AAS
>>294
再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、
１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
省12
298(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:38 ID:0oc9Ztsl(20/28) AAS
>>296
>好きに番号はつけて下さい。
はい
では、>>295の正則性公理の表記に合わせて、
∋関係の順序列の最小要素から順に、0または1を、
そして可付番なら、その後は自然数の順で番号付けをすることを
要求します
省8
299: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:51 ID:0oc9Ztsl(21/28) AAS
>>227
>・順序対 (x,y)と集合 {{x},{x,y}}との同一性。
追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序対
(抜粋)
目次
省27
300(1): 2019/10/12(土)16:38 ID:Vy+smElV(1/8) AAS
>>298
> X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
> ↓
> X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i+1]∋x[i]}
> と書き直して良いですよね？
それはダメです。
上の命題は例えばm=3のとき
省9
301(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:05 ID:0oc9Ztsl(22/28) AAS
>>300
ちょっと意味がとれない
１）>>295より（坪井明人 筑波大）”正則性公理は、「空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること」です”は、いいですか？
２）「Ω=x1∋x2∋x3」に対し、
上記の”数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大”の「大小」の意味（”極小となる”などの表現）で
大小記号”＞”を流用して表現しますと
”x1＞x2＞x3”と、通常の自然数の大小関係が逆転した表現になるということの理解は、良いですか？
省5
302(2): 2019/10/12(土)17:14 ID:Vy+smElV(2/8) AAS
>>301
当面正則性の公理なんて関係ありません。
主張しようとしてるのは
>>275の主張
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在する。
です。
省6
303: 2019/10/12(土)17:25 ID:Vy+smElV(3/8) AAS
もしかして>>275の主張がわかってないのかな？
もう少し丁寧に書けば
--- claim ---
S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]}
には最大値が存在する。
---
です。
省1
304(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:49 ID:0oc9Ztsl(23/28) AAS
>>302
(引用開始)
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在する。
(引用終り)
えーと、順序集合で、「半順序・全順序」意識していますか？
それ、∈関係で、全順序なのでしょ？
省16
305: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:52 ID:0oc9Ztsl(24/28) AAS
>>302
>X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
>が全てのmについて空集合とならない事が導かれるという主張なんです。
その、(x1,x2,‥,xm) って表記が公理的じゃないのだが
空集合でないことも、殆ど自明でしょ？？
306: 2019/10/12(土)17:56 ID:Vy+smElV(4/8) AAS
>>304
>えーと、順序集合で、「半順序・全順序」意識していますか？
>それ、∈関係で、全順序なのでしょ？
いいえ？そんな事どこにも書いてないでしょ？
主張は
--- claim ---
S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]}
省5
307: 2019/10/12(土)17:58 ID:Vy+smElV(5/8) AAS
え？
全順序ってS⊂NでNは全順序集合って意味ですか？
もちろんNが整列順序集合である事は仮定してますよ？
308(3): 2019/10/12(土)18:13 ID:Vy+smElV(6/8) AAS
もしかしてxnのnが動いてるところのNとxnが動いてるF(Ω)を混同してるのかな？
Nは通常のωを想定して書いてます。
ホントは自然数と対応付くものならなんでもいいんですが混乱するのでN=ωにします。
それともう議論が発散するだけなので数列の順は降鎖でいきます。
もうそこで議論が発散するのは避けましょう。
とりあえず
--- claim(※) ---
省18
309(2): 2019/10/12(土)18:14 ID:l44Ha7GI(1) AAS
{{…}} は正則性公理に反するのでZF内には存在できません
310(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:05 ID:0oc9Ztsl(25/28) AAS
>>309
外部ﾘﾝｸ:mickindex.（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ミック
再帰集合とSQL 2017/06/22
(抜粋)
色々な自然数の帰納的定義
ノイマン型
省38
311(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:08 ID:0oc9Ztsl(26/28) AAS
>>309
>{{…}} は正則性公理に反するのでZF内には存在できません
（>>189より）
正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
省2
312(1): 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/12(土)22:32 ID:XYOM7riD(1/3) AAS
>>310
＞ノイマン型から、分出公理で一番右のΦのみを残し他のΦを省いた集合を作ると、それはツェルメロ型になる
ωの一番右のΦってなんだよ？ｗ
有りもしないものが見えるとか、
馬鹿はとうとう認知症になったかｗ
>>311
∈関係の無限上昇列から、無限下降列は作れないことが
省2
313(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:33 ID:0oc9Ztsl(27/28) AAS
>>293
(引用開始)
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
(引用終り)
？
xmをいくらでも小さく取れるということですか？
省17
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 689 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.044s