現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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519: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/28(木) 21:01:57.22 ID:QdpmOFrx

>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)

さて
・上記のように、シングルトンは、有限には限らない
　（これは自明だが以下説明する）
・数学では、可算無限を考えることは、頻繁にある
・例えば、下記の時枝記事は”可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる”という記載から始まる
・あるいは、下記の形式的冪級数の各項の係数が、”箱が可算無限個ある”ことに相当するだろう
・また、下記のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスでは、”客室が無限にあるホテルを考える”となる
・さて、可算無限個ある箱に、縦棒”|”を入れるとする。”|||・・・”となる
　これを、利用して、・・・|||Φ|||・・・、
　つまりΦを真ん中にして、左右に”|||・・・”を配置する
・ここで、縦棒”|”を左カッコ{ や、右カッコ ｝に取り替える。即ち
　左の・・・|||→・・・{{{ に
　右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
　・・・{{{Φ}}}・・・となる
　ここで、Φを取り除けば、・・・{{{ }}}・・・
　ここでΦ＝{ }を替えれば、・・・{{{{ }}}}・・・となる
・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、否定できない（当然できないよね）
　とすれば、”|||・・・”の存在も否定できない
・従って、・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
QED

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/519

537: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 20:49:47.21 ID:4Ujjq2jv

つづき

（PDFからOCRして手直し引用）
Sur la notion d'ensemble fini.
Par
Casimir Kuratowski (Warszawa).

M. W.Sierpinski a donne dans son ouvrage L'axiome de M. Zermelo et son role dans la Theorie des Ensembles et l'Analyse 1) une nouvelle definition de l'ensemble fini.
Cette definition se distingue essentiellement par ce fait qu'elle ne depend ni de la notion de nombre naturel ni de la notion generale de fonction, qui entre d'habitude dans les definitions faisant usaged de la notion de correspondance.
La definition en question est la suivante:

"Considerons des classes K d'ensembles dont chacune satisfait aux ,conditions suivante:
1° tout ensemble contenant un seul element appartient a la classe K,
2° si.A. et B sont deux ensembles appartenant a la classe K,
leur ensemble-somme A + B appartient aussi a K.
Appelons fini tout ensemble qui appartient a chacune des
classes K satisfaisant aux conditions 1°et 2°".

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/537

538: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 20:50:04.16 ID:4Ujjq2jv

>>537
つづき

Comme on sait, l'ensemble de tous les objets (s'il existe) jouit des proprietes paradoxales : contrairement a un theoreme connu de G. Cantor, la puissance, de cet ensemble ne serait point inferieure a celle de la classe de tous ses sous-ensembles.
Il en est de meme de la classe composee de tous les ensembles
contenant un seul element; donc, les classes K ne verifient pas, le theoreme de Cantor.
En tenant compte de ce fait, on pourrait mettre en doute l'existence meme des classes K.

En modifiant la definition de M. Sierpinski de facon a en supprimer cet inconvenient, j'obtiens la definition suivante:

L'ensemble M est fini, lorsque la classe de tous ses sousensembles
(non vides) est l'unique classe satisfaisant aux conditions:
1. ses elements sont des sous-ensembles (non vides) de M;
2. tout ensemble contenant un seul element de M appartient a cette classe;
3. si A et B sont deux ensembles appartenant a cette classe, leur ensemble-sornme A+B lui appartient aussi.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/538

539: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 20:50:25.23 ID:4Ujjq2jv

>>538

つづき

Nous allors demontrer qu'un ensemble fini d'apres cette definition l'est aussi au sens ordinaire et reciproquement.
En d'autres termes: pour qu'un ensemble soit fini d'apres la definition proposee, il faut et il suffit que le nombre de ses elements puisse etre exprime par un nombre naturel (la notion de nombre naturel etant supposee connue).
En effet,soit M un ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel; soit Z une classe quelconque satisfaisant aux conditions 1-3.
Nous allons montrer que tout sous-ensemble de M appartient a Z.
Il en est ainsi - en vertu de la condition 2 - des sous-ensembles composes d'un seul element; en meme temps, s'il en est ainsi des sous-ensembles contenant n elements, il en est de meme - d'apres 3 - de ceux qui en contiennent n+l.
Comme le nombre d'elements de chaque sous-ensemble de M se laisse exprimer par un nombre naturel, il en resulte par induction que Z contient tous les sous-ensembles de M.
Donc, la classe Z etant necessairement identique a celle de tous les sous-ensembles de M, elle est l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3.
Ainsi, tout ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel est un ensemble fini dans notre sens.
Supposons, d'autre part, que le nombre d'elements d'un ensemble donne M ne se laisse pas exprimer par un nombre naturel.
Designons par Z la classe de tous les sous-ensembles de M dont le nombre d'elenlents peut etre exprime par un nombre naturel.
Cette classe satisfait evidemment aux conditions 1-3; en meme temps, d'apres l'hypothese, M n'appartient pas a Z et, par suite, Z n'est pas identique a la classe de tous les sous-ensembles de M; donc, la classe de tous les sous-ensembles de M n'est pas l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3 et M n'est pas fini dans notre sens, c. q. f. d.

(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/539

540: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 20:55:01.03 ID:4Ujjq2jv

>>537 機械英訳してみた（＾＾

（Google 仏→英訳）
On the notion of finite set.
Through
Casimir Kuratowski (Warszawa).

Mr. W.Sierpinski gave in his book The axiom of Mr. Zermelo and his role in the Theory of Ensembles and Analysis 1) a new definition of the finite set.
This definition is essentially distinguished by the fact that it does not depend either on the notion of natural number or on the general notion of function, which usually enters into the definitions that make use of the notion of correspondence.
The definition in question is as follows:

"Consider classes K sets each of which satisfies the following conditions:
1 ° any set containing a single element belongs to class K,
2 ° si.A. and B are two sets belonging to the class K,
their set-sum A + B also belongs to K.
Let's call finite everything that belongs to each of
classes K satisfying conditions 1 ° and 2 ° ".

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/540

542: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 20:55:39.85 ID:4Ujjq2jv

>>541
つづき

?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
In other words: for a set to be finite according to the proposed definition, it is necessary and sufficient that the number of its elements can be expressed by a natural number (the notion of natural number being assumed to be known).
?Indeed, let M be a set whose number of elements can be expressed by a natural number; let Z be any class satisfying the conditions 1-3.
We will show that every subset of M belongs to Z.
This is - under condition 2 - subsets composed of a single element; at the same time, if this is so subsets containing n elements, it is the same - according to 3 - of those which contain n + 1.
Since the number of elements of each subset of M is expressed by a natural number, it follows by induction that Z contains all the subsets of M.
Therefore, since the class Z is necessarily identical to that of all the subsets of M, it is the only class satisfying the conditions 1-3.
Thus, any set whose number of elements can be expressed by a natural number is a finite set in our sense.
?Suppose, on the other hand, that the number of elements of a set gives M does not let itself be expressed by a natural number.
Let Z be the class of all the subsets of M whose number of elements can be expressed by a natural number.
This class obviously satisfies conditions 1-3; at the same time, according to the hypothesis, M does not belong to Z and, consequently, Z is not identical to the class of all the subsets of M; therefore, the class of all subsets of M is not the only class satisfying the conditions 1-3 and M is not finite in our sense, c. q. f. d.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/542

548: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 21:11:38.02 ID:4Ujjq2jv

>>540
>Mr. W.Sierpinski

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%84%E3%83%AF%E3%83%95%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%94%E3%83%8B%E3%82%B9%E3%82%AD
ヴァツワフ・シェルピニスキ
(抜粋)
ヴァツワフ・シェルピンスキ（Wac?aw Franciszek Sierpi?ski、シェルピンスキー、1882年3月14日 - 1969年10月21日）とは、ワルシャワで生没したポーランドの数学者である。彼は集合論（選択公理や連続体仮説に関する研究）や数論、関数論、位相幾何学に対する多大な貢献をしたことで知られている。
彼は、700部を越す論文と、50冊の本を出版した（そのうちの 2 つ、『一般位相数学入門』Introduction to General Topology ,1934 と 『一般位相数学』General Topology,1952は、カナダの数学者 セシリア・クリューガーによって英訳されている）。

3 つの有名なフラクタルが、彼の名にちなんでいる（シェルピンスキーの三角形、シェルピンスキーのカーペット、シェルピンスキー曲線）。

数学への貢献
シェルピンスキが集合論に関心を持ったのは、「平面上にある（複数の）点は一つの座標で定義可能である」という定理に遭遇したからであった。その証明について当時ゲッティンゲンにいた数学者タデウシュ・バナヒェヴィチに質問したところ、彼の回答は一言カントールだけであった。
これを契機に集合論の研究を本格的に始める。リヴィウ大学に奉職して6年の間に数多くの論文を発表し、数論に関する3冊の本を公刊するまでに至った。

第一次世界大戦が勃発すると、迫害を避けるために家族と共にロシアに移り、ニコライ・ルージンと共に集合論の研究を継続。
終戦と共に復職するが、間も無くワルシャワ大学に移籍。ポーランド・ソビエト戦争ではポーランド軍参謀本部で作戦立案に携わる。
更にジグムント・ヤニシェフスキらと数学雑誌の立ち上げに参画しながら集合論の研究を進め、シェルピンスキ曲線として現在知られているものを発表している。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/548

549: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 21:49:30.28 ID:4Ujjq2jv

>>536
>・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131

1920は、2019から見れば、ほぼ100年前

>>544 補足
＞W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。

Kuratowskiは、Sierpinski氏の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」の有限集合の新しい定義を改良したわけです
1920年当時、（20世紀初頭までの）数学を公理的に扱えるようにするというのが、最先端の研究だった時代
「Zermeloの公理」が出ていたんだ
で、みなさんご存知のように、Zermeloはまずは、自然数N （可算無限）を、彼の公理から、構成した
（>>519ご参照）

で、当時既に知られていたようだが、自然数の構成は１通りではない
2019年では、ノイマンの構成が一番有名だが、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 などをご参照

で、有限と無限の定義が、このような自然数の構成に依存するのは、まずいと思ったのだろう
まずは、Sierpinski氏が考えて、それをKuratowskiを改良した

だから、SierpinskiやKuratowskiは、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)みないなのは、想定外
（まずは、素朴に無限と有限を分けましょうということだったろう）
また、1920年当時、無限集合のシングルトンを言い出したら、そもそも「有限とは？」「無限とは？」の議論が収束していないとき、混乱に輪を掛ける
（まあ、2019年の現代でも、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}の存在を否定する数学おサルがいるくらいですし。まあ、もう1月で2020年になりますけどね（＾＾；）

また、2019年の現代でも、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)などを数学で使う需要は少ない
もちろん、シングルトンなのだから、定義から、その集合の要素はただ1つ

但し、無限集合のシングルトンは、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)達は、その要素が、非可算無限集合であったり、あるいは可算無限集合

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/549

554: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/01(日) 07:53:15.16 ID:id6ENHqe

>>503 補足
>一階述語論理か
>それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
>所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
>それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
>あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；

（まとめ引用）ｗ（＾＾
　>>251より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。

>>491より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
有限集合
(抜粋)
基礎付け問題
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/554

563: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/01(日) 09:03:00.56 ID:id6ENHqe

>>552 補足

下記順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”を数直線に埋め込んでみよう
数直線の区間[0,2]で
n→1-(1/(1+n))＝n/(1+n)
と変換すると
0→1-1/1＝0
1→1-1/2＝1/2
2→1-1/3＝2/3
3→1-1/4＝3/4
　・
　・
ω→1-1/(1+ω)＝1
となって、”0, 1, 2, 3, ............, ω”
は、区間[0,1]に埋め込める
そこから、 S(ω)（＝ω+1）は
ω+1→1+1/2となって、区間[1,2]の中央の点に対応する
そして、上記が繰返される

（>>552の）Zermeloの自然数構成では、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωであり
これは、区間[0,1]の点[1,1]に相当する
これで、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωのモデルが存在することが分かった
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係

順序数の並び方を次のように図示することができる：

0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/563

574: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/03(火) 00:04:55.04 ID:BRqy0upZ

>>568 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
より

Zermelo 構成（0 := {}, suc(a) := {a} と定義）
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
4 := {3} = {{{{{}}}}}
　・
　・
n := {n-1} = {・・{{}}・・}（0 := {}の外がn重）
　・
ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）

一方、ノイマン 構成（0 := {}, suc(a) := a∪{a} と定義）
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
4 := suc(3) = {0, 1, 2, 3} = {0, {0}, {0, {0}},{0, {0}, {0, {0}}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},{{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
　・
　・
n := suc(n-1) = {0, 1, 2, 3,・・,n-1} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・,{{}, {{}},・・, {{}}・・}}
　・
　・
ω := {0, 1, 2, 3,・・,n・・・} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・・,{{}, {{}},・・・, {{}}・・・}}

さてここで
ノイマン 構成から、一番右の要素のみを残して、他の元を抜くと、Zermelo 構成になる
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
　↓(0,を抜く)
2 := {{{}}} (Zermelo 構成)

3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
　↓(0, 1,を抜く)
3 := {{{{}}}} (Zermelo 構成)

4 := suc(3) = {0, 1, 2, 3} = {0, {0}, {0, {0}},{0, {0}, {0, {0}}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},{{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
　↓(0, 1, 2, 3,を抜く)
4 := {{{{{}}}}} (Zermelo 構成)
　・
　・
n := suc(n-1) = {0, 1, 2, 3,・・,n-1} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・,{{}, {{}},・・, {{}・・}
　↓(0, 1, 2, 3,・・, n-1,を抜く)
n := {・・{{}}・・} (Zermelo 構成)
　・
　・
ω := {0, 1, 2, 3,・・,n・・・} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・・,{{}, {{}},・・・, {{}}・・・}}
　↓(0, 1, 2, 3,・・, n,・・を抜く)
ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）(Zermelo 構成)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/574

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