[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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451: 2019/10/21(月)23:17 ID:55/7dvj1(1) AAS
>>447
なにをトンチンカンなこと言ってるのやらｗ
プログラミング言語の"="は、左辺の変数に右辺の値を代入するという指示であり、数学の"="とは全く別物ｗ
頭に蛆でも湧いてんのか？ｗ
452(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)00:28 ID:u309yKT7(1/3) AAS
>>449
>Uの各元はシングルトンではなく、Uの各元のシングルトンはUの元だよ？
?？
・空集合から出発して、φ＝{}→{φ}→{{φ}}→{{{φ}}}→・・・
・可算無限から出発して、N→{N}→{{N}}→{{{N}}}→・・・
・連続無限から出発して、R→{R}→{{R}}→{{{R}}}→・・・
ケーキを食べ尽くすことはできないから、
省6
453(2): 2019/10/22(火)00:56 ID:81NNHuB4(1) AAS
ホントにわかってないな？
Uの各元のシングルトンはまたUの元だよ？
Uにはシングルトンでない元も山ほど入ってるんだよ？
君が今存在してるって言ってるΩは
Ω∋x1∋x2‥∋xnとだどって行っていつまでもシングルトンしか出てこないものでしょ？
Uにはシングルトンでも何でもないものもいっぱいはいってるし、そもそもU自体シングルトンじゃないでしょ？
別スレ見ててもわかるけどとても他人と数学議論ができるレベルにないよ。
454(1): {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/22(火)07:36 ID:DEgJ0Qgt(1/6) AAS
>>453
ああ、この馬鹿はとことん勉強嫌いだから
数学科の学生ならみな知ってる基本知識すらない
だから↓こんな馬鹿なことを平気で書いて恥ずる色もないｗ
2chｽﾚ:math
>例えば、コーシーの２行に書く記法で
>巡回置換(2354)なら
省11
455(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)09:06 ID:u309yKT7(2/3) AAS
>>454
ぼくちゃん、話題そらしに必死ｗ（＾＾
456: {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/22(火)09:15 ID:DEgJ0Qgt(2/6) AAS
>>455
1の坊やが何ほざいてんだ？ｗ
{{…(無限個)…}}なんて、正則性公理と矛盾するんだよ
無限降下列が存在するからなｗ
ツェルメロの構成法での「ω」はシングルトンじゃなく
{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
だな。これなら無限降下列は存在しない
省1
457(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)09:28 ID:u309yKT7(3/3) AAS
>>453
ホントにわかってないな
（>>452）
・空集合から出発して、φ＝{}→{φ}→{{φ}}→{{{φ}}}→・・・
・可算無限から出発して、N→{N}→{{N}}→{{{N}}}→・・・
・連続無限から出発して、R→{R}→{{R}}→{{{R}}}→・・・
のように、ある元から、シングルトンの生成を繰返して、無限の上昇列を構成することは可能だ
省17
458: 2019/10/22(火)09:30 ID:2aqzX71c(1) AAS
だから存在し得ると言うのと存在するのはべつなんだよ？
存在しない事が証明できるものは存在しないんだよ？
存在しない事の証明与えてるでしょ？
君証明読めないの？
459: {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/22(火)09:39 ID:DEgJ0Qgt(3/6) AAS
>>457
＞・空集合から出発して、φ＝{}→{φ}→{{φ}}→{{{φ}}}→・・・
＞当然、このような上昇列を逆に辿る無限降下列は、・・・
馬鹿に質問だｗ
どこから逆に辿れば無限降下列になるんだ
どの集合も{}から有限ステップで到達するぞ
どこから逆に辿っても有限ステップで{}に戻る
省5
460(1): 2019/10/22(火)09:44 ID:gclLY16S(1) AAS
>>457
どこがわからないかわからないと堂々巡りになるから確認。
仮定はZFC。
主張1)
∀X ∃Y s.t.
∀a seq. (a1∋a2∋‥∋an, a1=X)⇔an∈Y
外延性の公理からYは存在すれば一意なのでコレをF(X)と書く。
省4
461(1): 2019/10/22(火)11:00 ID:3X6qtZsf(1) AAS
>>460
主張1)の訂正。
∀X ∃Y s.t.
∀x(∃a seq. s.t. a1∋a2∋‥∋an, a1=X,n=x)⇔x∈Y
もしかして数列の定義がダメなん？
s:sequence :⇔ ∃x s.t.
(x∈ω ∨ x=ω) ∧ (t∈s⇔∃! n∈x ∃y s.t. t=<n,y>)
省2
462: 2019/10/22(火)11:33 ID:nYvyjN1O(1/3) AAS
あ、∃！の位置間違えたけどわかるよね？
あとtの束縛忘れてるけどわかるよね？
要は{0,1,2,‥n-1} または ω 全体を定義域とする関数。
"関数である" の論理式に定義域を限定するための論理式を追加してるだけ。
463: {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/22(火)12:30 ID:DEgJ0Qgt(4/6) AAS
>>461
＞論理式、数式が出てくると途端にレスしなくなるけど、
＞・・・ホントにわかんないの？
1はマジで論理式読めないんじゃね？
工学部じゃ一生目にすることないからｗ
巡回置換記法すら誤解する馬鹿だからな
あれは恐れ入った
464: 2019/10/22(火)15:56 ID:CwCP0Vgx(1/2) AAS
>>455
間違いを誤魔化そうと必死なのおまえじゃんｗ
465: 2019/10/22(火)16:00 ID:CwCP0Vgx(2/2) AAS
>>457
>当然、このような上昇列を逆に辿る無限降下列は、（最小元が存在するため）禁止されていないので、存在しうる
じゃあ存在を証明してみ？
ωの”一つ前”が存在しないのにどうやって逆に辿るのか示してもらいましょ？
466(1): 2019/10/22(火)16:01 ID:nYvyjN1O(2/3) AAS
ガロア理論勉強するだけなら一応論理式知らないでも勉強できなくはない。
一応数学の論文や教科書は論理式ではなく素の日本語、英語で書くのが原則だから。
でも理学部数学科の教程の中にほぼ例外なく論理式の理解が入ってくるのは、やはりコレガキチンと分かってる人間とそうでない人間では理解の正確さが段違いに変わってくるからだからなぁ。
ましてや集合論になったら論理式がキチンと理解できるのはほぼ必須と言っていいし。
正直論理式読めない状態で数学の勉強するって何考えてんのとしか思えないんだけど。
467: {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/22(火)16:21 ID:DEgJ0Qgt(5/6) AAS
>>466
>＊＊理論勉強するだけなら一応論理式知らないでも勉強できなくはない。
>一応数学の論文や教科書は論理式ではなく
>素の日本語、英語で書くのが原則だから。
そこは否定しないよ、というかできないよｗ
ただバックグラウンドには論理があるからね
例えば
省8
468(1): 2019/10/22(火)17:21 ID:nYvyjN1O(3/3) AAS
数学科では早いトコでは一回生の土頭から論理式読む練習するしな。
というかオレのいた大学では工学部でも土頭で論理式の読み方やってたハズなんだけどな。
理学部数学科のある大学なら大概般教の数学の授業は数学科の教官担当してるし、一応イプシロンデルタは絶対やるからな。
大学の授業寝てたんかな？
469: {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/22(火)18:15 ID:DEgJ0Qgt(6/6) AAS
>>468
論理式の読み方なんて、英語に比べたら全然簡単だけどな
ただ初心者は∃x∀yと∀y∃xの違いが分からんでつまづいたりする
そういうのは必要なつまづきなので、避けて通ると1みたいな馬鹿になるｗ
＞大学の授業寝てたんかな？
正直数学興味ないんだろ
単にマウンティングのツールとして
省5
470: {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/25(金)19:40 ID:QMdkwxsn(1) AAS
2chｽﾚ:math
>{1,2},{3,4}は{{1,2},{3,4}}の部分集合であって元ではない
誤り
{1,2},{3,4}は{1,2,3,4}の部分集合であるが{{1,2},{3,4}}の部分集合ではない
この点については安達はGスレ1と同レベルの馬鹿
471: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)20:15 ID:EUeYkluT(1/4) AAS
これ、なかなか面白いわ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
MathOverflow
Where did Zermelo first model the natural numbers by iterates of the singleton operator, and have the definitions been compared by himself? asked Jun 29 '17 at 15:32 Peter Heinig
472(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)20:54 ID:EUeYkluT(2/4) AAS
ほいよ
外部ﾘﾝｸ:scholarpublishing.org
Services for Science and Education Ltd
外部ﾘﾝｸ[pdf]:scholarpublishing.org
Satoko Titani
Global Set Theory
Society for Science and Education (United Kingdom)
省22
473(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)23:44 ID:EUeYkluT(3/4) AAS
>>472 補足
外部ﾘﾝｸ:scholarpublishing.org
Services for Science and Education Ltd
Global Set Theory
Satoko Titani
Professor Emeritus of Chubu University, Japan.
Our reasoning is based on dichotomous logic. That is, we are naturally convinced that a statement is either true or false exclusively. We accept the dichotomy as axiom.
省9
474: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)23:52 ID:EUeYkluT(4/4) AAS
>>473 補足の補足
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
研究者氏名
千谷 慧子
チタニ サトコ
所属
旧所属 中部大学 工学部 理学教室
省17
475: 2019/10/31(木)14:51 ID:hCUXuggb(1) AAS
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
476(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)07:52 ID:oYs7jyeH(1/4) AAS
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 より
2chｽﾚ:math
169 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/11/26(火) 00:26:15.90 ID:oYs7jyeH [3/5]
(抜粋)
シングルトンの可算多重カッコ（ {{{・・・{{{ }}}・・・}}} ←{ }が多重になったもの)
が理解できない落ちこぼれさんたち多数居たなｗｗ（＾＾；
(引用終り)
省22
477: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)07:53 ID:oYs7jyeH(2/4) AAS
>>476
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
助数詞（じょすうし）は、数を表す語の後ろに付けてどのような事物の数量であるかを表す語要素である。数詞を作る接尾辞の一群。類別詞の一種である。
日本語のほか、中国語・韓国語など東アジア・東南アジアの多くの言語、またアメリカ大陸先住民の言語などにある。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省11
478(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)08:10 ID:oYs7jyeH(3/4) AAS
>>476 補足
＞ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・{・・{}・・}∞
１対１対応なので
ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝの可算列が、正則性公理に反するならば、順序数も数も正則性公理に反するｗ（＾＾
479(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)10:58 ID:0n45lsJu(1/2) AAS
>>476 訂正
ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・{・・{}・・}∞
↓
ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・{・・{}・・}ω
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
↓
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同ω重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
省1
480: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)10:59 ID:0n45lsJu(2/2) AAS
>>479 追加訂正
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
↓
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}ωは、同ω重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
481(1): 2019/11/26(火)19:23 ID:XexXmVbj(1/4) AAS
>>476
>数 ：1 ,2 ,3 ,4 ,・・・,n ,・・・∞
>順序数 ：1st,2nd ,3rd ,4th ,・・・,nth ,・・・ω
>（１対１対応） ↓↑
>ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・,{・・{}・・}∞
>（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
>ちゃんと、可算の範囲で、全部対応が付きますがなｗ（＾＾；
省8
482(1): 2019/11/26(火)19:35 ID:XexXmVbj(2/4) AAS
>>478
>ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝの可算列が、正則性公理に反するならば、
>順序数も数も正則性公理に反するｗ（＾＾
飛んで火にいる夏の馬鹿ｗ
フォンノイマンのωは、ωー１というすぐ下の数を持たない
任意の自然数ｎについて、ｎ∈ωであり、
ｎは正則性公理を満たすから、ωも正則性公理を満たす
省18
483(1): 2019/11/26(火)20:36 ID:mgeF/V4N(1/3) AAS
バカはまさに今「∞∈N」って言ってるんだよ
わからん？ バカだからね
484(1): 2019/11/26(火)20:40 ID:mgeF/V4N(2/3) AAS
集合列 {}, {{}}, {{{}}},… のどの項も有限個のカッコしか無い。
ところがバカは {・・{}・・}∞ という項があると言う。
これがまさに ∞∈N という主張に他ならない。
バカに数学は無理。
485(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)21:20 ID:oYs7jyeH(4/4) AAS
>>481-484
おまえら、あたま腐っているのか？
公理的に禁止や矛盾が生じない限り、数学的には存在しうるぜ
486: 2019/11/26(火)21:37 ID:mgeF/V4N(3/3) AAS
>>485
いやだから禁じられてるんだがｗ
正則性公理によってｗ
バカ？ｗ
487: 2019/11/26(火)22:10 ID:XexXmVbj(3/4) AAS
>>485
{・・{}・・}∞は正則性公理と矛盾するから
正則性公理の下では存在しない
アタマ腐ってるのは数学白痴の馬鹿◆e.a0E5TtKE
488: 2019/11/26(火)22:12 ID:XexXmVbj(4/4) AAS
さすが
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}
と大ウソつく馬鹿だけのことはある
きっと馬鹿は
「{・・{}・・}∞は{}も{{}}も{{{}}}も要素とする」
とウソつき続けるんだろう
正真正銘の●違いだな
489: 2019/11/27(水)00:30 ID:XbJqzo/6(1) AAS
P(∞)=真を唐突とか言ってたが、まさに自分で∞∈Nって言ってるじゃんｗ
無自覚バカｗ
490: 2019/11/27(水)06:12 ID:a+X14gpa(1/6) AAS
もう◆e.a0E5TtKEは数学板で書かないほうがいいな
口を開けば間違いだらけのウソばかり
491(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)20:58 ID:qnEhNItW(1/12) AAS
>>485
どこかで読んだのだが、厳密性とは、所詮その時代の水準のものでしかないとか言われていた
昔（20世紀前半）は、一階述語論理が重視されたが
20世紀後半からは、一階述語論理偏重を見直す動きがある
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
有限集合
(抜粋)
省9
492(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)20:59 ID:qnEhNItW(2/12) AAS
>>491
つづき
単射だが全射ではない関数 f: S → S が存在するとき、集合 S をデデキント無限集合と呼ぶ。そのような関数は S と S の真部分集合（f の像）との間の全単射を表している。
デデキント無限集合 S の元 x が f の像に属さないとき、x, f(x), f(f(x)), ... のようにして S の異なる元の無限の列を得ることができる。逆に S の元の列 x1, x2, x3, ... があるとき、この列上の元に対しては {\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}}f(x_{i})=x_{{i+1}} となり、それ以外の元については恒等関数として振舞う関数 f を定義できる。
従って、デデキント無限集合には自然数と全単射的に対応する部分集合が含まれる。デデキント有限集合とは、全ての単射自己写像が全射でもある場合を指す。
クラトフスキの有限性の定義は次の通りである。任意の集合 S について、和集合の二項演算は冪集合 P(S) に半束構造を与える。
空集合と単集合から生成した半束を K(S) と記し、S が K(S) に属する場合、S をクラトフスキ有限集合と呼ぶ。直観的に K(S) には S の有限な部分集合が含まれる。
省3
493(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:00 ID:qnEhNItW(3/12) AAS
>>492
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
一階述語論理
(抜粋)
一階述語論理に関する定理
以下、健全性定理と完全性定理以外の重要な定理を列挙する。
省10
494(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:00 ID:qnEhNItW(4/12) AAS
>>493
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
省5
495: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:01 ID:qnEhNItW(5/12) AAS
>>494
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限論理
(抜粋)
数理論理学または順序数の概念に詳しくない者はまずそちらの記事を参考にすることが推奨される。
無限論理 (むげんろんり、英: infinitary logic) は、無限に長い言明および／または無限に長い証明を許す論理である。
省14
496: 2019/11/27(水)21:05 ID:a+X14gpa(2/6) AAS
馬鹿◆e.a0E5TtKEが発●中
497: 2019/11/27(水)21:07 ID:a+X14gpa(3/6) AAS
◆e.a0E5TtKEが数学の初歩から間違う
正真正銘の白痴であることは
今や数学板の読者全員が承知している
498: 2019/11/27(水)21:09 ID:a+X14gpa(4/6) AAS
◆e.a0E5TtKEの発言は数学的に誤りであるから
◆e.a0E5TtKEは完全な数学板荒らしである
499: 2019/11/27(水)21:10 ID:a+X14gpa(5/6) AAS
R.I.P ◆e.a0E5TtKE
500: 2019/11/27(水)21:11 ID:a+X14gpa(6/6) AAS
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
501(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:17 ID:qnEhNItW(6/12) AAS
>>491 補足
すでに、このスレの>>91に示したように、
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
そして、確かに、Zermeloの構成は批判され、その後ノイマン構成が採用された
だが、天才Zermeloのシングルトンによる自然数の構成が決して間違っていた訳では無い
無数の超準モデルの1つだよ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
省11
502(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:18 ID:qnEhNItW(7/12) AAS
>>501
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省16
503(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)22:01 ID:qnEhNItW(8/12) AAS
>>491 補足
(引用開始)
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。
遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。
見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、
省10
504(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)22:09 ID:qnEhNItW(9/12) AAS
>>491
＞基礎付け問題
これは、下記が、元記事だな（＾＾
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Finite set
(抜粋)
Contents
省14
505(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)22:11 ID:qnEhNItW(10/12) AAS
>>504
つづき
(This can happen when the model lacks the sets or functions necessary to witness the infinitude of these sets.)
On account of the incompleteness theorems, no first-order predicate, nor even any recursive scheme of first-order predicates, can characterize the standard part of all such models. So, at least from the point of view of first-order logic, one can only hope to describe finiteness approximately.
More generally, informal notions like set, and particularly finite set, may receive interpretations across a range of formal systems varying in their axiomatics and logical apparatus. The best known axiomatic set theories include Zermelo-Fraenkel set theory (ZF), Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC),
Von Neumann?Bernays?Godel set theory (NBG), Non-well-founded set theory, Bertrand Russell's Type theory and all the theories of their various models. One may also choose among classical first-order logic, various higher-order logics and intuitionistic logic.
A formalist might see the meaning[citation needed] of set varying from system to system. Some kinds of Platonists might view particular formal systems as approximating an underlying reality.
省4
506(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)22:12 ID:qnEhNItW(11/12) AAS
>>505
つづき
Various properties that single out the finite sets among all sets in the theory ZFC turn out logically inequivalent in weaker systems such as ZF or intuitionistic set theories. Two definitions feature prominently in the literature, one due to Richard Dedekind, the other to Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski's is the definition used above.)
A set S is called Dedekind infinite if there exists an injective, non-surjective function {\displaystyle f:S\rightarrow S}f:S\rightarrow S.
Such a function exhibits a bijection between S and a proper subset of S, namely the image of f. Given a Dedekind infinite set S, a function f, and an element x that is not in the image of f, we can form an infinite sequence of distinct elements of S, namely {\displaystyle x,f(x),f(f(x)),...}x,f(x),f(f(x)),....
Conversely, given a sequence in S consisting of distinct elements {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...}x_{1},x_{2},x_{3},..., we can define a function f such that on elements in the sequence {\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}}{\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}} and f behaves like the identity function otherwise.
Thus Dedekind infinite sets contain subsets that correspond bijectively with the natural numbers. Dedekind finite naturally means that every injective self-map is also surjective.
省4
507: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)22:13 ID:qnEhNItW(12/12) AAS
>>506
つづき
Readers unfamiliar with semilattices and other notions of abstract algebra may prefer an entirely elementary formulation. Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
・X contains the empty set;
・For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
Then K(S) may be defined as the intersection of M.
In ZF, Kuratowski finite implies Dedekind finite, but not vice versa. In the parlance of a popular pedagogical formulation, when the axiom of choice fails badly, one may have an infinite family of socks with no way to choose one sock from more than finitely many of the pairs.
省3
508(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:22 ID:QdpmOFrx(1/7) AAS
>>504 追加
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Finite set
(抜粋)
Necessary and sufficient conditions for finiteness
In Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF), the following conditions are all equivalent:[citation needed]
2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
省4
509(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:24 ID:QdpmOFrx(2/7) AAS
>>508
つづき
Kuratowski finiteness is defined as follows. Given any set S, the binary operation of union endows the powerset P(S) with the structure of a semilattice.
Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
Readers unfamiliar with semilattices and other notions of abstract algebra may prefer an entirely elementary formulation.
Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
省7
510(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:30 ID:QdpmOFrx(3/7) AAS
>>508-509
＞ 2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
＞Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
＞X contains the empty set;
＞For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
＞Then K(S) may be defined as the intersection of M.
なるほど
省5
511(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:37 ID:QdpmOFrx(4/7) AAS
>>509
>Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
>K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
もし、singleton が、ZFCの中で正則性公理により有限に留まらざるを得ないならば、話は単純だが
しかし、そうではないからこそ、Kuratowski先生も苦労して、”Kuratowski finiteness”を定義している
かつ、それでこそ、Kuratowskiの論文の値打ちもあろうというものよｗｗ（＾＾；
512(1): 2019/11/28(木)05:57 ID:rkIRfVWh(1/5) AAS
>>501
>天才Zermeloのシングルトンによる自然数の構成が決して間違っていた訳では無い
>無数の超準モデルの1つだよ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
ｗｗｗｗｗｗｗ
こいつほんと馬鹿だな
513(1): 2019/11/28(木)06:10 ID:rkIRfVWh(2/5) AAS
>>510
＞”Kuratowski finiteness”の定義では、
＞CやRやQやNのシングルトン
＞{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
＞有限集合にはならんな！
こいつまた馬鹿な読み間違いしてるな
英語が読めないのか、それとも日本語でも読めないのか
省3
514(1): 2019/11/28(木)06:21 ID:rkIRfVWh(3/5) AAS
>>511
＞singleton が、ZFCの中で正則性公理により
＞有限に留まらざるを得ないならば、話は単純だが
正則性公理は全然関係ないが
こいつホント馬鹿だな
＞しかし、そうではないからこそ、
＞Kuratowski先生も苦労して、
省4
515: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)17:44 ID:rRA3+Jnq(1) AAS
>>512-514
おサルが言いつくろいに必死ｗｗ(゜ロ゜;
516(1): 2019/11/28(木)18:15 ID:Cyde5vCH(1/2) AAS
キチガイサイコパスはべき集合も知らんのか？
知ってたら一瞬で答えられるだろ
517: 2019/11/28(木)19:11 ID:rkIRfVWh(4/5) AAS
>>516
まったくだｗ
｛C}のべき集合 {{},{C}}
｛R}のべき集合 {{},{R}}
｛Q}のべき集合 {{},{Q}}
｛N}のべき集合 {{},{N}}
数学のスの字も分からん工学馬鹿への注ｗ
省4
518: 2019/11/28(木)19:13 ID:rkIRfVWh(5/5) AAS
馬鹿◆e.a0E5TtKEの恥ずかしい間違いｗ
{{}}⊂{{{}}}
N⊂{N}
もう人間とは思えない馬鹿っぷりだなｗ
519(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)21:01 ID:QdpmOFrx(5/7) AAS
>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
省27
520: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)21:02 ID:QdpmOFrx(6/7) AAS
>>519
つづき
（参考）
ガロア過去スレ20 再録 2chｽﾚ:math
１．時枝問題（数学セミナー201511月号＊）の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
省16
521(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)21:05 ID:QdpmOFrx(7/7) AAS
>>519 タイポ訂正
右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
↓
右の|||・・・→}}}・・・ に 取り替えると
分かると思うが（＾＾；
522: 2019/11/28(木)21:12 ID:Cyde5vCH(2/2) AAS
相変わらずのバカ丸出し
523(1): 2019/11/28(木)22:39 ID:lvt0VL8R(1) AAS
3945
しろ@hu_corocoro 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
Twitterﾘﾝｸ:hu_corocoro
Twitterﾘﾝｸ:5chan_nel (5ch newer account)
524: 2019/11/29(金)01:50 ID:qxx6pnyn(1) AAS
未だに正則性公理が理解できないアホバカ
525: 2019/11/29(金)06:26 ID:RLRDCvDR(1/4) AAS
>>519
＞・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
で、その・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の要素は？
ここで、自分の馬鹿に気づけよｗ ◆e.a0E5TtKE
>>521
＞分かると思うが
ウソを分かる馬鹿◆e.a0E5TtKE
526: 2019/11/29(金)06:35 ID:RLRDCvDR(2/4) AAS
>>519
＞・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、
＞ 否定できない（当然できないよね）とすれば、
＞ ”|||・・・”の存在も否定できない
非論理的な主張を絶叫する馬鹿 ◆e.a0E5TtKE
527: 2019/11/29(金)06:53 ID:RLRDCvDR(3/4) AAS
◆e.a0E5TtKEがクラトフスキ有限の話をやめたのは
R⊂｛R}という馬鹿丸出しの誤解をしていると指摘されて
全く反論できなかったから
◆e.a0E5TtKEは集合に関して安達弘志と同レベルｗｗｗｗｗｗｗ
528: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/29(金)07:52 ID:KnsCfpdu(1/4) AAS
>>523
ご苦労様です
おめでとうございます（＾＾
頑張ってださい
529(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/29(金)08:00 ID:KnsCfpdu(2/4) AAS
>>510
追加引用ｗ（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
有限集合
(抜粋)
有限性の必要十分条件
ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件は全て等価である。
省12
530(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/29(金)08:02 ID:KnsCfpdu(3/4) AAS
>>529 補足
＞空集合と単集合から生成した半束を K(S) と記し、S が K(S) に属する場合、S をクラトフスキ有限集合と呼ぶ。
単集合＝シングルトンですな ｗ（＾＾；
531(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/29(金)08:05 ID:KnsCfpdu(4/4) AAS
>>530
（>>510より）
なるほど
”Kuratowski finiteness”の定義では、
CやRやQやNのシングルトン
{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
有限集合にはならんな！
省7
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