現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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112: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 08:39:19.54 ID:d8OQiN+r

>>77 追加

下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人 筑波大
http://math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/set2.pdf
坪井明人
11 整列集合
定義 88（整列順序）順序集合 (X, <) が整列集合（あ
るいは整列順序集合）であるとは，空でない任意の
A ⊂ X の中に（A の）最小元が存在することである．
注意 89 整列集合は全順序集合である．全順序集合
であることは，２元集合 A = {x, y} に必ず最小元が
存在することからわかる．
例 90
1. (N, <) は整列集合である．
2. (Z, <) は（全順序集合であるが）整列集合でない．
3. 有限の全順序集合は整列集合になる．
関数 f : N → X は X の元からなる無限列と考えられる．
無限列は (an)n∈N などで表す．
定義 91 (X, <) を順序集合とする．X の元の無限列
(an)n∈N が無限降下列であるとは，任意の n ∈ N に対して，
an+1 < an が成立することである．
例 92 1. Z における数列 (an)n∈N を an = ?n で定めると，無限降下列である．
2. N の中には無限降下列は存在しない．

定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．

証明： 1 ⇒ 2: (X, <) を整列集合とする．全順序
集合になることは既に調べた．X の中に無限降下
列 (an)n∈N が存在したとしよう．このとき，集合
A = {an : n ∈ N} ⊂ X は最小元を持たない．これ
は X が整列集合であることに反する．
2 ⇒ 1: 2 を仮定する．空でない A ⊂ X を任意に
とる．A に最小元が存在することを示そう．a0 ∈ A
を選ぶ．これが A の最小元ならば議論は終了する．
そうでなければ，a1 ∈ A, a1 < a0 が存在する．a1
が最小元ならば議論は終了するので，再び a2 ∈ A,
a2 < a1 が存在する．以下同様に A の元 an を
a0 > a1 > a2 > ・ ・ ・ an?1 > an
となるように選ぶ．A は無限降下列を持たないので，
この構成はいつか止まる．すなわち，ある n に対し
て an ∈ A が最小元になる．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/112

151: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 11:23:00.82 ID:d8OQiN+r

>>110 補足

>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
(引用終り)

ツェルメロ構成で、aの後者関数：suc(a) := {a} なので
上記、set a に対して set {a}が必ず属するという、無限公理の規定の仕方をしているのかな？
（原典まで確認していないが）

ノイマン流では、で、aの後者関数：suc(a) := a∪{a} なので
この場合の無限公理は、set a に対して a∪{a}が必ず属すると規定される

まあ、自然数ｎに対しその後者ｎ＋１が必ず属する集合Nが存在という意味だな
このNは、我々の望む自然数ｎ以上のものを含む。というか、含んでも無限公理上はしかたない
だから、あとから不要なもの（後者）を排除するしかない

では、不要なもの（後者）とは何か？　我々の望むものは、自然数ｎ（有限）のすべて
だから、不要なもの（後者）とは、有限を超えたものであって、真に無限のもの
ツェルメロ構成では、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合たちですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
自然数
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　・
　・
と非常に単純な自然数になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A(Φ∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A))

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/151

155: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 13:05:38.30 ID:d8OQiN+r

>>154 追加
さて、上記von Neumannで、自然数Nが構成できる
無限降下列
0∈1∈2・・∈N・・∈N’
とでも書きますかね

0∈1∈2・・∈N・・∈N’の部分は無限長
0∈1∈2・・∈N’の部分も無限長
上段が、正則性公理でだめなら
下段も、正則性公理でだめ（＾＾

そもそも、順序数は無限なのだから、正則性公理で規制されるものではない
ところで、下記の「濃度と順序数 fujidig」では
”無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . ”
という用語を使っています（＾＾

この用語が適切かどうか不明だが
「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
（文学的表現では、底抜けってことですね）
一方、順序数での数列には、必ず最小元を持つ。それが、無限列であっても
正則性公理で禁止しているのは、明らかに、底抜けの最小元を持たない無限単調減少列です
最小元を持つ、上昇する無限列を禁止するものではない！（＾＾

https://fujidig.github.io/
でぃぐのページ ハンドルネーム: fujidig
https://fujidig.github.io/201606-cardinal/201606-cardinal.pdf
濃度と順序数 fujidig
June 21, 2016
(抜粋)
P15
順序数というのは自然数が持つ「番号を振る」という目的を無限方向に拡張したものだといえる．
P16
・整列集合 N の型は ω と書かれる．これは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
・今並べたのは順序数のうちほんの小さい部分にすぎない．もっと大きい順序数がまだまだある
P17
命題 4
整列集合 X から無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . はとれない．
証明.
x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．
P18
命題 5
順序集合 X ≠ Φ が整列集合であるために
は，全順序集合であって無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . がとれないことが
必要十分．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/155

162: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 13:38:42.40 ID:d8OQiN+r

>>151 補足
ツェルメロの自然数構成で
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
　・
　・
n：{・・{Φ}・・} n重
これで、全ての有限の自然数は構成できる
無限公理で、Nとωが出来たあとに、
ω：{・・{Φ}・・} ω重 （ωは、下記のwikipedia定義に従う）
と定義すれば良い
下記、順序数「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
但し、下記”順序型というアイデア”を使う
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
注釈
^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/162

164: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 13:53:05.04 ID:d8OQiN+r

>>163 補足
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい

(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N

ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？

（参考）
https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野　哲　（山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/164

165: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 13:59:06.45 ID:d8OQiN+r

>>164 追加
（参考）
現代数学はインチキだらけ より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567930973/882-
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
その他の性質
(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。
モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。
(引用終り)
（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
(抜粋)
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded.
Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/165

175: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 16:07:45.71 ID:d8OQiN+r

>>102 追加
＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and

この”for any object a, of the singleton set {a}”
は、ZFCでは、対の公理だね
a → {a}が言える

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
対の公理
(抜粋)
性質
外延性の公理により、任意のx,yに対しその対が一意に定まる。その集合のことを{x,y}と記す。 また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は一元集合{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。
他の公理との関係
対の公理はZF公理系の他の公理と独立ではない。すなわち、置換公理および「濃度が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、無限公理、あるいは空集合の公理と冪集合の公理の組み合わせから導くことができる）。 そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。

https://unaguna.jp/article/archives/14
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
外延的記法 (対の公理と和集合の公理)
対の公理
公理 1 (対の公理).
∀x∀y∃z∀w[w∈z←→w=x∨w=y]
すなわち、いかなるモノ (集合) x, y についても、「x と y だけが属する集合」が存在する。
まさに書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。この対の公理を使うことで、2つのモノ (集合) だけが属する集合はひととおり存在が証明される。
また、1つのモノ (集合) だけが属する集合の存在も対の公理から証明できる。というのも、対の公理では x と y が同じでないことは要求してないので、たとえば「3と3だけが属する集合」である {3,3} も対の公理により存在する。
そしてこの {3,3} と「3だけが属する集合」である {3} を比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。
よって外延性の公理より {3,3} と {3} は同じ集合である。
したがって、対の公理により {3,3} の存在が示されるということは、{3} の存在が示されるということと同義である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/175

180: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 20:18:43.44 ID:d8OQiN+r

>>175
商集合は、分出公理を使うのか
https://unaguna.jp/article/archives/25
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) > 同値関係と同値類
(抜粋)
同値類
例として「偶奇という点で同じ」ことを表す同値関係を定義しよう。その場合たとえば
M={?x,y?∈ω×ω?∃z∃w[x+2z=y+2w]}
と定義すればよい (

この定義の下では xMy であることと、x+2z=y+2w を満たす自然数 z, w が存在すること (x と y が2の倍数加算の違いを除いて一致すること) が一致する。

定理 2.上で定義した関係 M は同値関係である。

M の定義文の中の 2 の部分を他の非零自然数 n に変えることで「n で割った時の余りという点で同じ」ことを表す関係も作れる。自然数同士のそのような関係は n を法とする合同関係と呼ばれる。
2 の部分を 0 にすると、aMb と a=b が一致するので、通常の「等しい・同じ」を表す関係になる。

同値類
同値類は同値関係 R によって同じと見なされるモノだけがすべて属する集合である。例えば上で例示した ω 上の同値関係 M の同値類を考えると
Mo={1,3,5,7,9,…}
Me={0,2,4,6,8,…}
という二つの同値類がある。たとえば 1M3 だから 1 と 3 は同じ同値類に属し、2M3 ではないから 2 と 3 は異なる同値類に属する。

同値類は、それに属する1つの元を用いて表すことができる。R を x 上の同値関係としたとき、「a と同値なモノがすべて属し、そうでないモノは属さない集合」である
{y∈x?yRa}
は a の同値類と呼ばれ、[a] や [a]R と書く。
例えば上の Mo は「1が属する同値類」という意味で [1] とも表現する。
1が属する同値類と3が属する同値類は同じ Mo を指しているので [1]=[3] である。
この例の 1 や 3 のように同値類に属するモノのうち同値類の表現に使われたモノをその同値類の代表元とよぶ。
原則としてどのモノを代表元に選んでもよい。

商集合
商集合は、同値関係 R による同値類だけがすべて属する集合のことである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/180

182: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 20:20:45.85 ID:d8OQiN+r

>>181
つづき

数学の議論では、変数 i を含む項 T と、集合 I があるとき、i∈I に対する T 全体からなる“集合”を考える、ということがしばしばあります。
　大抵の場合、i∈I のとき、T は i に無関係なある集合 A に属しているので、これを集合と見なすことは分出公理により正当化されるのですが、順序数の議論のような、集合論として“きわどい分野”での議論を行うときは、このような条件が成り立っていない場合があります。
　ところで、この場合の項 T は、集合 I の元 i に対してある対象 T を表しており、i に T を対応させる関数が与えられたとみなすことができます。
　そこで、集合 I の関数による像 { T | i∈I } となる集合が存在すると言う意味の置換公理：

[∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) ] → ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ P(x, y) )]
を仮定します。
　この公理は一見わかりにくい形をしていますが、左辺の ∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) というのは、x と y に関する関係 P(x, y) が一価関係であるということ、言い換えると、与えられた x に対して P(x, y) を満たす y を対応させる対応が x の関数になっていることを意味します。
　従って、上の置換公理の述べるところは、一価関係 P が表す関数による集合 a の像となる集合が存在する、ということを意味しています。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できます。

さて、この置換公理を仮定すると、変数 y を含まない任意の命題 R に対して R ∧ x = y という命題を P(x, y) と書けば、これは明らかに一価関係です。
ゆえに、置換公理によって ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ R ∧ x = y ) ] すなわち ∀a ∃b ∀x [ x∈b ⇔ ( x∈a ∧ R ) ] となって、これは分出公理に他なりません。すなわち分出公理は置換公理から導出できるのです。

(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/182

189: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/07(月) 06:37:17.06 ID:2lTTrhZd

まとめます

１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
　”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
　底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
　ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
　このとき、無限公理を適用しただけでは、
　我々の必要とする自然数N（全ての有限ｎたちのみを含む集合）より大きな集合が出来てしまう
　それを、自然数Nに絞り込む操作を必要とする
　つまり、無限公理により、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちは、１）で述べたように、正則性公理に反しないのです
（>>110-112）
３）ツェルメロ構成では、aの後者関数；suc(a) := {a} なので
　この自然数構成で、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちを絞って、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}と、自然数の集合Nができる
　そこで、全ての有限ｎたちを超える元たちの中で、最小の元が、ツェルメロ構成でのωに相当します（定義）
（>>110>>151）
４）ところで、正式な順序数ωの定義は、本来は、下記”整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法”による
　ノイマン構成では、この定義がそのまま適用できる
　ツェルメロ構成では、下記”順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる”ので
　その方法により、ωを定義した上で、３）のツェルメロ構成でのωを再定義すれば良い
QED

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
略

順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/189

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