現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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935: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/15(木) 17:30:30.91 ID:FaDqkhIK

>>924 追加
p 進数体「Qp は完全不連結局所コンパクトな位相体になる」（下記）ｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
p進数
(抜粋)
p 進数(英: p-adic number）とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された[1]、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。
有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。
数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば p 進量子力学を参照）。

「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。

なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法（2進法）やその結果得られる記号列（2進列）も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。

5 p 進数体の性質
6 局所大域原理

p 進数体の性質
p 進数が p 進展開と一対一に対応することから、p 進数体は連続体濃度を持つ。Q を部分体として含むので、標数は 0 である。どのように順序を入れても順序体にはできない。
実数体 R の代数閉包（複素数体 C）が二次拡大で完備であるのに対し、p 進数体 Qp の代数閉包 Qp は無限次拡大でしかも完備ではない。
その完備化は代数閉体であって、Cp と表される。これは複素数体 C と体として同型であるが、同型写像の存在は選択公理に依存しており、具体的に同型写像を与えることはできない。

Zp の単数群（可逆元全体の成す乗法群）は Zp× = {x ∈ Qp | vp(x) = 0} となる。Zp は局所環であり、その唯一の極大イデアルは
略
と表される。
p 進数体は離散付値である p 進付値に関して完備で、剰余体が有限であるので局所体のひとつである。p 進距離の定める位相に関して Zp は Qp の開かつ極大コンパクトな部分環である。
同様に、Zp の任意のイデアルは開かつコンパクトとなる。さらに、これらのイデアルたちは 0 の基本近傍系を成す。特に、Qp は完全不連結局所コンパクトな位相体になる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/935

970: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/15(木) 20:33:02.91 ID:brP98meI

>>935 追加

黒木 玄さん（＾＾；
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/Articles/index-j.html
ここですぐに読める文書
黒木 玄のホームページ
このページは、主に、私がネットワークニュース・学内の電子掲示板・教室内の電子掲示板に書いた記事を集めたものです。

http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/Articles/p-adic_number.txt
p進数のやさしい解説 (23 Mar 1994 08:52:38 GMT)
p = 2 なら、1 + 2 + 4 + 8 + … = -1/2.
From kuroki Wed Mar 23 17:52:38 1994
Subject: Re: p-adic physics
(抜粋)
黒木＠東北大学と申します。
誰もp進数の説明をしてないようなので、少し真面目に解説しましょう。

例えば、p = 3 の場合、p進数の世界では
次の等式が成立しています:

1 + 3 + 9 + 27 + … + 3^n  + … =1/(1 - 3) =1/2.

要するに、x の『絶対値』が1より
小さいときに成立する次の等式が、p進数の世界では x = p でも成立し
ているということです:

1 + x + x^2  + … + x^n  + … =1/(1 - x) .

実際、p進数の世界では p の『絶対値』は1より小さいと考えます。p進
数の世界では、pで割り切れる数ほど『絶対値』が小さいと考える世界
なのです。

絶対値の概念(付値)のは体積の概念(測度)と密接に関係しています。
(あたりまえのこと。どちらも『大きさ』の概念。Weilの教科書などは
むしろHaar測度の方を基本的なものとして出発します。) p進数の世界
でも極めて自然に体積の概念が定義されます。(したがって、Lebesgue
積分論が自由に使えます。)

{∞,2,3,5,7,11,...} = Spec Z = 『Spec Z の完備化』 と comapct
Riemann 面 (例えば、P^1(C) = 球面) との類似を考えると、
すべてのp進体および実数体をたばねたもの(アデール)は Riemann 面上の函数全体
の空間の類似であり、アデール上の積分(Haar測度)は Riemann 面上の函
数全体にわたる積分(Feynman測度)の類似になっています。つまり、数体
の世界では汎函数積分の類似を自由に使うことができます。

まあ、他にも書きたいことが色々あるのですが、長くなったのでこの辺
で止めにします。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/970

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