現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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741: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/14(水) 10:08:15.09 ID:Qpe2jc/f

つづき

U を OpenX の対象とし，(Ui ?→ U)i∈I を OpenX における射の族
（つまり Ui はU に含まれる開集合）で (Ui)i∈I が U の開被覆になっているものとする．
このとき，
この開被覆に関する層の条件は次の完全系列で表すことができる：
0 ?→ F(U) ?→ ?i∈IF(Ui)(?)??→ ?i,j∈IF(Ui ∩ Uj )．
ここで (?) は (xi)i∈I 7?→ (xi|Ui∩Uj ? xj |Ui∩Uj)i,j∈I で与えられる準同型である．
Ui ∩ Uj は圏 OpenX 内でのファイバー積 Ui ×U Uj と解釈できることに注意する
と，「(Ui)i∈I が U の被覆になっている」という一点を除けば，層の条件は純粋に圏
論的な言葉で書くことができることが分かる．したがって，圏 OpenX 以外にも，
「射の族 (Ui ?→ U)i∈I が被覆である」という条件が与えられているような圏に対し
てはその上の層という概念が定義できることになる．
例えば，次のような圏 LIsomX を考えよう．

定義 1.6
連続写像 f : Y ?→ X が局所同相であるとは，任意の y ∈ Y に対し y の開近傍
V , f(y) ∈ X の開近傍 U が存在して，f が V から U への同相写像を誘導すること
をいう．
圏 LIsomX を次のように定める：
・ 対象は局所同相な連続写像 f : Y ?→ X（誤解のないときには単に Y とも表す）．
・ f : Y ?→ X から f′: Y′ ?→ X への射は，連続写像 g : Y ?→ Y′ で f′?g = f
を満たすもの．
LIsomX における射の族 (gi: Yi ?→ Y )i∈I（Y , Yi は LIsomX の対象）が被覆で
あるとは，Y =∪i∈Ig(Yi) となることをいう．

このように，圏に被覆の概念を定めたものをサイト (site) と呼ぶ注 4．サイト
LIsomX に対して，その上の層の概念を定義することができる：

注 4正確には，これは圏に対する前位相 (pretopology) と呼ばれる概念であり，サイトの定義とは少
し異なる．圏に前位相を定めることはちょうど位相空間の開基を定めることにあたる．異なる開基が
同じ位相を定めることがあるように，異なる前位相が同じサイトを生むこともある．詳細は [SGA4]
を参照していただきたい．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/741

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