現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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740: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/14(水) 10:07:42.11 ID:Qpe2jc/f

つづき

前小節でも述べた我々の目標は，一般の体上の代数多様体，あるいはより広
く，一般のスキームに対してこの Betti コホモロジーの類似を定義することである．
最も自然に思いつく方針は，スキームの Zariski 位相に関して同様に定数層係数
コホモロジーをとるというものだと思う．しかし，これは全くうまくいかない．

例えば，X を既約なスキームとすると，X の任意の空でない開集合は連結であるか
ら，X 上の定数層 Z は軟弱層となり，その 1 次以上のコホモロジーは消えてしまう．
また，k を無限体とすると A1k と P1k の底空間は同相なので，もしスキームの底
空間のみからコホモロジーが決まるならばこれらのコホモロジーは同型となるはず
であるが，一方 A1C と P1C の Betti コホモロジーは明らかに異なっている．
スキームの Zariski 位相だけを見ていたのでは不十分であるということである．

注 1代数幾何でよく現れる構造層係数コホモロジー Hi(E, OE) は 0 次と 1 次が 1 次元，2 次以上が
0 となるのでこの条件を満たさない．同じ「コホモロジー」の名を冠してはいるが，別種のものと考
えた方がよいだろう．
注 2ここでは，位相空間上の層やそのコホモロジーに関する知識をある程度仮定して話を進める．詳
しく知りたい方は [KS] や [Ive] を参照していただきたい．
注 3以下では，断りがなければ常に層としてはアーベル群の層を考える．

そのためもっと非自明なアイデアが必要なのであるが，それを説明する前に層を
圏論的な言葉で解釈しておこう．位相空間 X に対し，圏 OpenX を次のような圏
とする：
・ 対象は X の開集合．
・ V , U を X の開集合とするとき，V から U への射は包含写像 V ,?→ U．
（Vが U に含まれるなら射は唯一，そうでないなら射はない．）
このとき，X 上の前層は OpenX から Ab への反変関手に他ならず，前層の間の射
とは反変関手間の射に他ならない．前層が層になるための条件について考えよう．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/740

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