現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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620: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/12(月) 20:10:08.86 ID:mCjJyXJI

>>617 補足
サルには数学は無理
１）サルは、数学をディベートと勘違いしている。
　　人は、数学は１本の正しい証明があれば良いと知っている
２）サルは、数学ではもし例外があればそれを明記しなければならないということを知らない。
　　人は、数学の確立された定理で例外の記載がなければ、例外の存在しない定理ということを知っている
　　例えば、下記のモーデル予想で”例外点の有限性”が明記されている
３）もし、従来の確率論・確率過程論において、時枝手法により、あるXDの確率が例外として99/100（あるいは1−ε）であるならば、それは明記されている。
　　明記が無ければ、時枝記事などクソ扱いということですｗ（＾＾；

https://mathsoc.jp/section/algebra/
日本数学会 代数学分科会 ホームページ
https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp16.html
第61回 代数学シンポジウム 2016
https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp16_files/number-theory/2-tamagawa.pdf
代数多様体の数論的基本群とその線形表現 玉川安騎男 京都大学数理解析研究所 2016
P5
定理 2 の証明 証明は、群論的部分、幾何的部分、数論的部分からなります。
数論的部分では、幾何的部分の帰結及びモーデル予想／モーデル・ラング予想（Faltings）を用いて、例外点の有限性を証明します。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ファルティングスの定理
(抜粋)
数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。
後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。
この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/620

621: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/12(月) 20:10:59.29 ID:mCjJyXJI

>>620
つづき

背景
C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。
・g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面（英語版）である。
・g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。）
・g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。

証明
ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデルの理論を含む代数幾何学の多くのツールを使う方法であった。
ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により得られている。
さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(Enrico Bombieri)が与えた。

https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp16_files/number-theory/4-yasufuku.pdf
有理曲面上のボエタ予想 安福 悠 (日本大学理工学部) 2016
(抜粋)
2 主定理の紹介
Vojta の主予想 [3, Main Conjecture 3.4.3] とは，代数体 k，k 上定義され
る滑らかな射影代数多様体 X，k 上定義される正規交叉因子 D ごとに定ま
る，X の k 有理点が満たすとされる高さ関数の不等式である．代数多様体の
標準因子が負であればあるほど，正規交叉因子に有理点が近づけると主張し，
「幾何が整数論を制御する」という哲学が明示化される一つの方法となってい
る．大変難解な予想とされており，Faltings により証明された Mordell 予想
や，ディオファントス近似の金字塔とされる Schmidt の部分空間定理も，特
別な場合として含んでしまっている．また，「一般型の代数多様体には k 有理
点が Zariski 稠密にはない」と主張する Bombieri?Lang 予想や，2012 年に京
都大学数理解析研究所の望月新一教授により証明が発表された abc 予想も導
ける (Vojta [4]）ことが分かっている．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/621

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