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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む74 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む74 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/
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572: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/08/12(月) 12:37:39.73 ID:mCjJyXJI >>569 追加 あんまし関係ないけど、貼る（＾＾ http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/AxiomOfChoice/index.html 1+2+3+・・・・ = -1/12な部屋 数学界に大論争を呼んだ選択公理(1/2) 2015/01/12 (抜粋) 「・・・・もしかしたら選択公理は矛盾を含むかも（しれない）。危ないからしばらく選択公理の使用は禁止」 との疑惑が勃発し、 「選択公理は採用するべきだ/しないべきだ」と 過去の数学界を真っ二つにするほどの大論争を呼びました。 Cだけ最後にちょこーっと付け加えられてるのは この争いに争って、 「ZFが基本だから。使いたい人だけオプションで選択公理を使えばいいよ」って事になったからです。^^; 「選択公理」とは 「与えられた集合の族に対し、各集合から適当な要素一つを選択し、新しい集合を構成する事」です。 もっと正確に言えば、「選択関数の存在」、 および「選択関数からは矛盾が引き起こされない事を数学的に保証する」 事を言います。 選択公理のヤバい所は・・・縦↓じゃなくて横→の方なんですね。^^; 「選択」と言うのは1つの動作であるわけです。 入力Sは無限の要素を持っていますから、 それに入力S→出力Dを作るには 「選択」を無限回行わなければいけない。 それは果たして可能であるのか？ 以前にも紹介した 「面積の測れない不思議な図形」や 「バナッハ＝タルスキーのパラドックス」など 「数学的にパラドキシカル（に見える）な結果を含む 研究と言うのは、 まずほとんど選択公理が使わてる」んです。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/572
573: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/08/12(月) 12:39:18.04 ID:mCjJyXJI >>572 つづき 数学界の問題児。 何かきな臭い、異常に見える事件が起こった時は確実に選択公理が使われてます。 実は 「選択公理とは『無限回を超える回数の選択を行う』行為」 を許してしまう事だと気づく。 選択公理は その気になれば到達不可能基数回数に対してだって選択を行ってしまいます。 ・・・あああ。これはヤバい。 人間は到達不可能基数に到達できません。（名前の通り） その未知の対象、人間の能力を超える基数を相手に 選択公理は到達不可能基数回数でも選んでみせると豪語しておるわけで。 http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/AxiomOfChoice/index2.html 数学界に大論争を呼んだ選択公理(2/2) 2015/01/12 (抜粋) http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/AxiomOfChoice/W1.png Wは数学の完全体。数学の学問としての全ての研究対象はこの中に詰まっています。 逆に言えば、Wに属さない構造を持った集合は矛盾を孕む可能性があるので （例：ラッセルの集合。 R = {x:R?x}） 数学としては研究の対象になりません。 http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/AxiomOfChoice/W2.png 例え宇宙が無限に広いと言っても、人間の目で観測できる範囲にしか 人間には知る術はなく、 手の届かない範囲は学術的に全くタッチできないんです。 http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/AxiomOfChoice/W3.png ゲーデルはそれを厳密に考察して 「構成可能集合L」を構築しました。 LはWのサブセットで、 Wの中から「人間が有限の文章で記述できる範囲」に絞った物と考える事ができます。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/573
574: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/08/12(月) 12:39:41.31 ID:mCjJyXJI >>572 つづき ちなみに・・・はい。 到達不可能基数サイズを持つモデルの中には 選択公理の否定、すなわち選択公理からパラドックスを導くモデルもあります。 （コーエン1960年の論文） まとめると： ・選択公理は完全無矛盾ではない。適用すると矛盾の発生するモデルもある。 ・が、そのモデルはL以上の複雑さを持っており、人間には記述不可能。 ・人間の記述できる数学、構築可能集合Lの中では選択公理は無矛盾 ・よって実質的には選択公理を「（通常の環境下では）矛盾を含まない」、 絶対的な真理、 公理として採用することには問題はない。 ってな事がその後の研究でわかり、 晴れて選択公理は無矛盾。常に真として成立する絶対的な真理。 集合論の公理の1つとして採用する至りとなったわけです。 ご拝聴ありがとうございました。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/574
600: １３２人目の素数さん [] 2019/08/12(月) 16:08:00.72 ID:iZ0prKja >>572 ＞「バナッハ＝タルスキーのパラドックス」 バナッハ＝タルスキーのパラドックスは ハウスドルフのパラドックスに基づいてるが 結局のところある種の群の特性によるので 選択公理以前の問題 （測度を不変にする群が、生成元２の自由群を含めばいい。 双曲平面の合同変換群はこの特性を有するため 双曲平面全体が１となるような測度は設定不能） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/600
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