現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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473: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/11(日) 14:56:30.73 ID:D5VJA43k

>>464
>>つまりは、無理数については、小数点以下の桁を増やしていく行為ありきです（特にπ）
>おまえの理屈に従えば、Πは現在のところ有理数ということになるｗ　いや、永遠に有理数のままだろうｗ
>πのすべての位の値は決まっている。人類が知らないからといって変動することは無いｗ

いや、おれの主張は
（>>429より）
「結局、数学内では、実無限 or 可能無限の論争は、無意味だというのが、私スレ主の意見です」
ってことで、無限小数はありですよ

（>>472より）
>お前、無限小数とはどういうものか、分っているのか(笑
桁数が有限でない小数。
ある小数をn進法で表したとき有限小数か無限小数かはnに依存する。
(引用終り)

現代数学の立場では、全ての数は無限小数という扱いもできる
例えば、歴史とは逆の順になるが、形式的冪級数を定義して、その後、ある次数k+1以上が全て零として多項式を定義するが如し
下記形式冪級数で、X=10^-1として、その係数a0,a1,・・・たちを{0，1，2，3，・・・7，8，9}に制限すれば
10以下の正又は0の実数は全て表現可能で、
・有限小数は、多項式同様あるある次数k+1以上が全て零
・有理数は、しっぽの係数が循環する場合

として、表現できる
繰返すが、全ては無限小数ありきから出発することは、現代数学として可能です
（10越えの数は、a0を自然数全体（0を含む）に緩めれば、正の実数はすべて表現可能）

学校での教え方とは違いますけどね（＾＾
これ、実無限 or 可能無限の無益な論争をしない利点があるｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと
−つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ−
は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/473

474: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/11(日) 14:57:29.62 ID:D5VJA43k

>>473
つづき

冪級数
詳細は「形式冪級数」を参照
非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。
ここではコーシー積における和が有限和であることを保証するために、冪指数に用いるモノイド N に対していくつかの仮定を課す必要がある。あるいは環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。
N として標準的な非負整数全体を選ぶならば問題は何もなく、形式冪級数環を N から環 R への写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。

形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

性質
・多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
　しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。
　このとき  a_1,・・・ ,a_n∈ Iであれば、  Σ_α c_α X^α ∈ A[[X_1,・・・ ,X_n]] の  X_1,・・・ ,X_n に  a_1,・・・ ,a_n を代入したものは収束する。
・ネーター環 A 上の多項式環 B := A[X1, …, Xn] の、m=(X_1,・・・ ,X_n) による完備化は、A[[X1, …, Xn]] と同型である。
　これは  B_ m の   mB_m 進位相による完備化とも同型である。
・A がネーター環であれば、C := A[[X1, …, Xn]] もネーター環であり、A が整域であれば C も整域である。
　A が体であれば、C は正則局所環 である。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/474

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