[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む74 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む74 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/

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434: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/08/11(日) 08:12:43.58 ID:D5VJA43k >>362 >リーマン球面の∞は「無限大」とは直接関係ない リーマン球面の∞は「無限大」とは直接関係あるよ 下記、リーマン球面の拡張複素数と演算をご参照（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2 リーマン球面 (抜粋) 数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点 1/0 = ∞ は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。 純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。 無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。 しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。 拡張複素数 拡張複素数 (extended complex numbers) は複素数 C と ∞ からなる。 拡張複素数の集合は C ∪ {∞} と書け、しばしば文字 C に追加の装飾を施して表記される。 演算 複素数の加法は任意の複素数 z に対して z+∞ =∞ と定義することで拡張され、乗法は任意の 0 でない複素数 z に対して z・∞ =∞ とし、∞ ? ∞ = ∞ と定義することで拡張される。 ∞ + ∞, ∞ - ∞, 0 ? ∞ は未定義のままであることに注意せよ。 複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。∞ は乗法逆元をもたないからだ。 それでもなお、C ∪ {∞} 上の除法を次のように定義するのが習慣である。 0 でないすべての複素数 z に対して z/0=∞ and z/∞ =0, ∞/0 = ∞ そして 0/∞ = 0。 商 0/0 および ∞/∞ は定義されないままである。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/434

435: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/08/11(日) 08:13:31.78 ID:D5VJA43k >>434 つづき 有理関数 任意の有理関数 f(z) = g(z)/h(z) （言い換えると、f(z) は複素係数の z の多項式関数 g(z) と h(z) であって共通因子をもたないようなものの比である）はリーマン球面上の連続関数に拡張できる。 具体的には、 z_{0}} z_{0} が分母 h(z_{0})} h(z_0) が 0 だが分子 g(z_{0})} g(z_0) が 0 でないような複素数であれば、 f(z_{0})} f(z_0) は ∞ と定義できる。さらに、f(∞) は f(z) の z → ∞ における極限として定義できる。これは有限かもしれないし無限かもしれない。 複素有理関数全体の集合は、その数学的記号は C(z) であるが、リーマン球面をリーマン面と見たときに、すべての点で値 ∞ をとる定数関数を除いて、リーマン球面からそれ自身へのあらゆる正則関数をなす。C(z) の関数たちは代数体をなし、球面上の有理関数体 (the field of rational functions on the sphere) として知られている。 これらの定義を用いて、f はリーマン球面からそれ自身への連続関数になる。 応用 リーマン球面は物理学で多くの応用を有する。 量子力学において、複素射影直線上の点は、光子の偏光状態、スピン 1/2 の有質量粒子のスピン状態、および一般に 2 状態の粒子の自然な値を示す。 リーマン球面は、天球の相対論的モデルに使用することも推奨されてきた。 弦理論 では、弦の世界面 (worldsheet) はリーマン球面であり、最も単純なリーマン面としてのリーマン球面は重要な役割を演じる。 これは、ツイスター理論においても重要である。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/435

436: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/08/11(日) 08:23:48.38 ID:D5VJA43k >>430 ＞スレ主　←実無限と可能無限の区別さえ知らず、 スレ主　←実無限と可能無限の区別は、数学では不要だという（>>429） ＞無限公理と無限集合を自然数の集合のことだと思っていた馬鹿(笑 無限公理より以前に、リーマンは拡張複素数として∞を数として扱いました（>>434） 無限公理は、リーマンらの19世紀数学の成果を、公理の体系としてまとめ上げるために、必須とされる公理です これが、無限公理の位置付けです 無限公理があって、無限集合が生じ、拡張された数としての∞が生じる 但し、それは公理体系の中でです 歴史的には、∞が先で、無限公理が後です（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/436

441: １３２人目の素数さん [] 2019/08/11(日) 09:00:35.82 ID:aa8277WX >>434 ＞リーマン球面の∞は「無限大」とは直接関係あるよ しかしその後の文章は全然、無限大と無関係 スレ主、正真正銘の馬鹿か？ｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/441

531: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/08/11(日) 23:44:07.12 ID:D5VJA43k ＜サル石を叩くための記録-その４-＞ −リーマン球面の∞とか射影平面の無限遠直線を考えるのに、無限公理は必要ない”編−ｗ（＾＾； 436 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/08/11(日) 08:23:48.38 ID:D5VJA43k [4/34] >>430 ＞スレ主　←実無限と可能無限の区別さえ知らず、 スレ主　←実無限と可能無限の区別は、数学では不要だという（>>429） ＞無限公理と無限集合を自然数の集合のことだと思っていた馬鹿(笑 無限公理より以前に、リーマンは拡張複素数として∞を数として扱いました（>>434） 無限公理は、リーマンらの19世紀数学の成果を、公理の体系としてまとめ上げるために、必須とされる公理です これが、無限公理の位置付けです 無限公理があって、無限集合が生じ、拡張された数としての∞が生じる 但し、それは公理体系の中でです 歴史的には、∞が先で、無限公理が後です（＾＾； 443 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/08/11(日) 09:04:41.49 ID:aa8277WX [2/33] >>436 ＞∞が先で、無限公理が後 リーマン球面の∞とか射影平面の無限遠直線を考えるのに、無限公理は必要ない 471 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/08/11(日) 10:38:08.59 ID:D5VJA43k [9/34] >>443 >＞∞が先で、無限公理が後 >リーマン球面の∞とか射影平面の無限遠直線を考えるのに、無限公理は必要ない サルの言っていることは意味不明だな 現代数学は、公理体系の元で成立っている ZFC公理系を採用すると、 ZFC公理系のもとで、いろんな集合が構成できる 例えば 自然数→整数→有理数→実数→複素数などが順に構成できる その先に、集合論の中で、複素関数とそのベースたるリーマン球面が構成できる 全く、サルの言っていることは意味不明だな（＾＾ 歴史的には、∞が先で、無限公理が後です（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/531

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