現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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415: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/10(土) 20:30:35.09 ID:AHc3nl9z

>>329 補足
>＞選択公理を仮定しなければ、非可測集合は存在しないことを示した
>スレ主は全然分かってませんね
>（ルベーグ）可測集合だけの集合論が成立することを示したのであって
>そのような集合論では、必然的に選択公理は成立しません

補足
（なお、下記渕野昌先生のこのPDFは、過去複数回取り上げている。文字化けは原文ご参照）
http://fuchino.ddo.jp/papers/tohoku-ws06-talk.pdf
集合論から見た非可測集合
渕野 昌（中部大学，fuchino@isc.chubu.ac.jp）
2006 年 11 月 13 日
東北大学大学院理学研究科 数学専攻 談話会での講演
(抜粋)
(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 2 (Robert Solovay, 1970）
ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” が無矛盾なら，ZF + DC + “ すべての実数
の集合はルベーク可測” も無矛盾である．
ZFC : Zermelo-Frenkel axiom system of set theory with Axiom of Choice
選択公理を含む集合論の公理系
ZF : 集合論の公理系から選択公理を除いたもの
DC : Depenent Choice （従属選択公理）“maximal な有限枝を持たない木は無限
の枝を持つ” を主張する選択公理の弱いヴァージョン
到達不可能基数 : 極限基数で正則なもの．到達不可能基数の存在を仮定すると
“ZFC は 無 矛 盾 で あ る” が 証 明 で き る ．し た がって 不 完 全 性 定 理 に よ り，
ZFC に到達不可能基数を加えた体系は ZFC より真に強い体系である．

(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 2 (Robert Solovay, 1970）
ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” が無矛盾なら，ZF + DC + “ すべての実数
の集合はルベーク可測” も無矛盾である．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/415

417: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/10(土) 20:31:21.60 ID:AHc3nl9z

>>415
つづき

定理 3 (Saharon Shelah, 1984） ZF + “ すべての実数の集合はルベーク可測” が
無矛盾なら，ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” も無矛盾である．特に定理 2
で到達不可能基数を条件から落せない．
定理 3 K (Saharon Shelah, 1984） ZF + “ すべての実数の集合はベールの性質
を持つ” の無矛盾性は ZFC の無矛盾と同値である．
X ⊆ R がルベーク可測 ⇔ ある Borel 集合 B と零集合 N で X = B4N とできる
X ⊆ R がベールの性質を持つ ⇔ ある Borel 集合 B と第 1 種の集合 M で
X = B4M とできる

(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 4 (Mycielski, Swierczkowski, Mazur, Banach, Davis, 1964) ZF + AD のも
とですべての実数の集合はルベーク可測になる．

系． 決定性公理 AD は選択公理と矛盾する．

(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 5 (Hugh Woodin, 1985) （ZFC の成り立つ世界で）無限個のウディン基数
が存在してその上に一つ可測基数が存在するとき AD が L(R) で成立する．
L(R) : R から出発して，定義可能な集合をとる操作を超限回繰り返して得られ
る集合の作るクラス．L(R) では ZF と DC が成り立つ．
ウディン基数，可測基数 :
到達不可能基数よりはるかに “大きい” が集合論で考察する巨大基数の中
では最大のものでないような基数
決定性公理 AD は選択公理の alternative と見るべきではい．むしろ選択公理の成
り立つ豊かな（つまり存在してもいいような巨大基数がすべて実際に存在する
ような）世界の内部世界 L(R) で成り立つ原理ととらえるべきである．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/417

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