現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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378: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/10(土) 10:14:56.83 ID:AHc3nl9z

>>377
つづき

現在の数学は基本的に『実無限』の立場をとっています。
無限を数学的に扱うための「集合論（素朴集合論）」を確立したカントールが実無限の立場であり、その立場の元発展してきたからです（というか実無限の立場だったからこそ数学的に扱う理論にできたわけですが）。

当然パラドックスは回避できないわけですが、余程特殊なケースを考えなければ議論に問題はない（事実前回の無限級数の結果は事実と一致しています）ため、パラドックスには「目をつぶって」数学的な扱いのできる無限を採用しているわけです。

パラドックスの発生しない範囲で実無限を扱っていると言い換えてもよさそうです。
前回紹介したゼノンのパラドックスは無限級数の考え方で解消できるので「数学」の範囲内ですが、超作業法のパラドックスまで行ってしまうとそれは「数学」の範囲外であり考察の対象ではない。という考え方です。
（誤解の無いよう言っておくとこれは僕個人の考え方です、数学における無限の扱いは分野や個人によって微妙に異なっています）

一方で数学的な議論が必要でない日常生活においては我々は意外と『可能無限』的な考え方をしているような気がします。
先ほどの例でいうと「石の中に予めあらゆる石像の形が内在している」と考えるより、人間が削りだすことによってはじめて石像が生み出されると考えたほうが自然な感じがしますし、イマドキのJ-popによくある「無限の未来」がどうのこうのという歌詞の「無限」は可能無限的な意味で使われていると考えられます。

表題の「無限とは実在するか」という問題提起に対する返答は
「『実無限』の立場に立てば実在する。『可能無限』の立場に立てば実在せず可能性としての無限があるだけである」
というものになるでしょう

有限の存在である我々人間が「無限」なんてものを考えようとした場合はこのようにケースに応じて立場を変えるほかないのかもしれません

少なくとも今現在では、実無限と可能無限のどちらが正しいということは言えず、1つの立場から統一的に無限を語ることは不可能です

興味が湧いた人は、実無限と可能無限の哲学的な関係について知りたい人は『無限論』、数学における無限の扱いについて知りたい人は『無限集合論』という分野の本を見てみるといいでしょう
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/378

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