現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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434: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/11(日) 08:12:43.58 ID:D5VJA43k

>>362
>リーマン球面の∞は「無限大」とは直接関係ない

リーマン球面の∞は「無限大」とは直接関係あるよ
下記、リーマン球面の拡張複素数と演算をご参照（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
リーマン球面
(抜粋)
数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点
1/0 = ∞
は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。

純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。
無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。
しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。

拡張複素数
拡張複素数 (extended complex numbers) は複素数 C と ∞ からなる。
拡張複素数の集合は C ∪ {∞} と書け、しばしば文字 C に追加の装飾を施して表記される。

演算
複素数の加法は任意の複素数 z に対して

z+∞ =∞
と定義することで拡張され、乗法は任意の 0 でない複素数 z に対して

z・∞ =∞
とし、∞ ? ∞ = ∞ と定義することで拡張される。
∞ + ∞, ∞ - ∞, 0 ? ∞ は未定義のままであることに注意せよ。
複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。∞ は乗法逆元をもたないからだ。
それでもなお、C ∪ {∞} 上の除法を次のように定義するのが習慣である。
0 でないすべての複素数 z に対して
z/0=∞ and z/∞ =0,
∞/0 = ∞ そして 0/∞ = 0。
商 0/0 および ∞/∞ は定義されないままである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/434

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