現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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249: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/06(火) 12:13:20.79 ID:8G2CwbyQ

>>248
哀れな素人さん、どうもスレ主です。

ご参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6
数学の哲学
(抜粋)
20世紀における数学の哲学
今日、数学の哲学は、数学の哲学研究者、論理学者、数学者によっていくつもの異なる研究の方向に進んでおり、この主題に関する多くの学派が存在する。次の節で、これらの学派を個別に取り上げ、彼らの仮説を説明する。

現代の学派
形式主義
詳細は「形式主義 (数学)」を参照

初期のヒルベルトは演繹主義者であったが、上記のように、メタ数学的方法が本質的に有意味な結果を生み出すと考え、有限算術に関して実在論の立場に立っていた。
後年には、どんな解釈を取ろうとも有意味な数学は他に一切ありえないという見解をもつようになった。

ルドルフ・カルナップ、アルフレト・タルスキ、ハスケル・カリーら他の形式主義者たちは、数学とは形式公理系の研究のことであると考えた。
数理論理学者は形式体系を研究しているが、形式主義の立場に立つ研究者も実在論の立場に立つ研究者も同程度にいる。

形式主義に対する主要な批判は、数学者たちの念頭にある現在の数学的概念は、前述した記号列操作ゲームとは縁もゆかりもないということである。
例えば形式主義はどんな公理系を研究すべきかという問いに対しては沈黙する。形式主義的観点からはどの公理系も同等に有意味だからである。

フィクショナリズム
クワインは、数学は私たちのもっとも優れた科学的な諸理論のために不可欠であり、したがって独立に存在する事物について言及する真理の主要部として受け入れなくてはならないとしたが、
フィールドは不可欠ではなく、したがって実在的な何者にも言及することのない虚偽であると指摘した。
彼はこれを、まったく数と関数を用いることのないニュートン力学の完全な公理系を提供することによって行った。

フィールドのアプローチは非常に影響力があったが、今日では広く拒絶されている。
これは、一つには、フィールドの還元を行うために二階の論理の強い断片（英: strong fragments）が必要とされるからであり、また彼の保守的な理論の言明は抽象的なモデルや演繹に対して量化を必要とするように思えるからである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/249

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