現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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207: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/04(日) 21:54:02.32 ID:wYXDzdNx

>>206

つづき
正確には、「第66項(定理) 無限集合は存在する.」です
公理ではなくね。公理に対して、「証明」と言ってはいけません（小学校国語ｗ（＾＾）

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/232885
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B50/pdf/B50_016.pdf
デデキントの数学思想  (数学史の研究) 数理解析研究所講究録別冊 Jun-2014
Mathematical Thoughts of Richard Dedekind
足立恒雄 (早稲田大学)
(抜粋)
「三つの謎」 は次のように要約できる :
1. 『数とは何か』の中で (第66項) ,「無限集合の存在」 が「証明」されている
が,どうして 「私の思考の精神世界」といった奇妙な代物を考えたのか ?

2 第一の謎
第66項(定理) 無限集合は存在する.
証明 私の思考の世界,すなわち私の思考の対象となり得るあらゆ
る事物の全体 S は無限である.何故かというと,もし s が S の要素と
すると,「s が私の思考の対象であり得る」という考え s' はそれ自身 S
の一つの要素である.これを要素 s の像 $\varphi$(s) と見なせば,これによっ
て確定する S の写像 $\varphi$ は,その像 S' が S の部分集合であるという性質
を持っている.しかも S' は S の真部分集合である.というのは, S の
中には,このようなどの考え s' とも異なり,従って S の中には含まれ
ない要素 (たとえば,私本来の「我」 が存在しているからである.最
後にもう一つ, a, b が S の相異なる要素ならば,その像 a', b' は相異な
ることは明らかだから,写像 φ は区別のつく相似写像 (単射) である.
よって S は無限である.証明終わり *).
*) 原注 同様な考察はボルツァーノの 『無限の逆説』の第13節にある.

ボルツァーノのような神学者・哲学者ならいざ知らず,デデキントともあろう生
粋の数学者がどうしてこんな,他の項とは調子のまったく異なる 「世界」を持ち
出してきたのか,読者は不審に思われないだろうか.師であるガウスにせよ,敬
愛するディリクレにせよ,兄貴分のリーマンにせよ,数学的議論の場に,こんな
哲学的というか,あいまいな議論を持ち出したりしたことはなかろう.
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/207

209: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/04(日) 21:55:48.24 ID:wYXDzdNx

>>207
つづき
池田　真治先生、京都大学 文学 哲学専修 博士
「実無限の擁護」（＾＾；
https://researchmap.jp/shinjike/
池田　真治  富山大学 博士(文学)(課程)(京都大学)
2003年4月 - 2006年3月
京都大学 文学研究科 思想文化学専攻 哲学専修 博士後期課程
https://researchmap.jp/muomt2ia4-1774112/#_1774112
https://researchmap.jp/?action=multidatabase_action_main_filedownload&download_flag=1&upload_id=39878&metadata_id=39541
2012年度・後学期
西洋思想史
第14回
池田真治

デデキント
「数とは何か、何であるべきか」
定理．無限集合は存在する。
証明．私の思考の世界、すなわち私の思考の対象となり得るあらゆる事物
の全体Sは無限である。なぜかというと、もしsがSの要素とすると、sが私の
思考の対象であり得るという考えはそれ自身Sの一つの要素である。
これを要素sの像φ(s)と見なせば、これによって確定するSの写像φは、その
像S’がSの部分集合であるという性質を有している。しかもS’はSの真部分集
合である、というのはSのうちには、このようなどの考えs’とも異なり、
従ってS‘のうちには含まれないような要素（たとえば、私本来の「我」）が
存在しているからである。最後にもう一つ、a, bがSの相異なる要素ならば、
その像a,’ b’は相異なることは明らかだから、従って写像φは区別のつく
（相似）写像 [=単射] である。よってSは無限である。証明おわり。

デデキント
無限集合の存在証明
・ 何らかの任意の思考 S1 が与えられたとする。
・ このとき、これとは区別される思考 S2 が存在する。
　すなわち、「 S1 は思考の対象である」という思考。
・ そして、これが以下、無限に続く。
・ したがって思考の集合は無限である。

実無限の擁護
・ 実無限数に反対してきた伝統的哲学者や数学
者の誤りは、最初から実無限数に有限数が
もつすべての属性を要求してしまっている点
にある。これは、前提虚偽の論証。
・ 実際には無限数は、それが思考可能である
ならば、有限数とは異なる、まったく新し
い数の種類として構成しなければならない。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/209

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