現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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181: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/04(日) 16:00:25.39 ID:wYXDzdNx

>>168
私スレ主が考えているのは、ブルバキによる関数の定義で、
それは、現在でもいろんな場面で使われているはず
なお、ご批判もあるようですが（後述 「??橋 等  東北数学教育学会年報」 ）（＾＾；

https://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/index-jap.html
藤田　聡　のページ 広島大
https://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/set.pdf
集合論の基礎
藤田 聡
（広島大学）
Ｐ37
集合論の基礎（３）
関数，濃度
(教科書： 1.9, 1.10)
関数(function)とは？
? AとBを集合とする
? AからBへの関数とは、Aの各要素に対するB
の要素の割当てである
? b∈Bをa∈Aに対して割当てられた要素とす
ると、b＝f(a)とあらわす
? Aを領域(domain)、Bを終集合(co-domain)、
b＝f(a)をaの像、f(A)＝｛f(a)｜a∈A｝を値域
(range)とよぶ

https://air.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3162&item_no=1&page_id=13&block_id=21
秋田大学学術情報リポジトリ
関数史と我が国の中学校数学教科書における関数の定義の変遷−学校数学での関数の定義の扱い方への提案
??橋 等  東北数学教育学会年報  2018-03-31
(抜粋)

(5) 集合論に基づく関数の定義

ブルバキによる関数の定義が，当時は，
完成された定義として流通した。Bottazzini(1986)によ
るとブルバキの定義は次である：

邦訳を付す：
互いに異なる或いは異ならないE とF との2 つの集合
があるとする。もし，任意のx∈E に対し，与えられ
たxとの関係において唯一つのy∈Fが存在するならば，
E の可変要素x とF の可変要素y との間の関係は関数
関係と呼ばれる。
我々が，与えられたx との関係において何れの要素
x∈E とy∈F とを関連させる規則に対して関数なる名
称を与え，y は要素x の関数値であると呼ばれる，更
に関数は与えられた関数関係によって決定される。２
つの同値な関数関係は同一の関数を決定する。(筆者
訳)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/181

183: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/04(日) 16:02:32.17 ID:wYXDzdNx

>>181
つづき

ブルバキの定義によって関数の定義の発展が完遂した
かのように見えたものの，この定義に依っては説明し
切れない数学的知識が扱われ始めた。それらの数学的
知識については次節に記す

３．ブルバキによる関数の定義を超える数学的知識
Kleiner (1989)は関数に係る最近の三つの論点を簡潔
に提示している。それらはL2 関数，一般化関数（超関
数），及び圏論である。Kleiner (1989)は三番目に扱った
圏論に関連させてブルバキによる関数の定義を取り上
げているけれども，L2 関数，一般化関数（超関数），
及び圏論で論じられている内容はブルバキの定義では
閉じ込められない。ここでは，L2 関数を取り上げ論ず
ることとする。

L2 関数とは，集合L2＝｛f(x): f2(x) はルベーグ積分可
能｝がヒルベルト空間を形成するというものである。
L2関数を現代数学の関数の定義では説明し得ないこと
を，Kleiner (1989)はデービス&ハーシュの引用によっ
て取り上げているけれども， Davis, Hersh&
Marchisotto(1995)からその引用の前後の文章も併せて
提示する：

It is interesting to observe that this modern development
really involves a further evolution of the concept of function.
For an element in L2 is not a function, either in Euler’s
sense of an analytic expression or in Dirichlet’s sense of a
rule or mapping associating one set of numbers with
another.
It is function--like in the sense that it can be subjected to
certain operations normally applied to functions (adding,
multiplying, integrating). But since it is regarded as
unchanged if its values are altered on an arbitrary set of
measure zero, it is certainly not just a rule assigning values
at each point in its domain. (p. 293)

興味深いことは，この現代的展開が関数概念の新た
な進展を含むことを注意することである。なんとなれ
ばL2 の元は，解析的式のオイラーの意味においても，
また１つの数集合に他の集合をあてがうディリクレの
意味の規則性または写像の意味においても，関数では
ないからである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/183

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