現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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18: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/02(金) 07:33:11.56 ID:iEpfJmnQ

再録
スレ73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/943
(抜粋)
>867について
コンパクト ⇔ 完備 + 全有界 (⇔ 閉 + 有界)
コンパクト化？ 完備化？
0.33333… ->1/3 ∈ Q
(引用終り)
さて
１）リーマン球面の方へ目が行ったのかな？
２）そもそもは、哀れな素人さんの" 0.33333……≠1/3の証明"、>>803
”つまりどこまで割っても1/10^nの余りが出るのである。
　そしてｎ→∞のとき、1/10^n→0だが、
　これは1/10^nはかぎりなく0に近づくが0にはならない、
　略
　だから0.33333……はかぎりなく1/3に近づくが、1/3にはならない”
　について、n∈N で考える限りは、それは一つの理屈で、私も>>821に書いた通りで
　”利口過ぎる小学生や高校生は、哀れな素人さんのように考えるかも知れませんね”（>>867）ってこと
３）なので、1つの理解として、自然数全体N の一点コンパクト化で、N ∪ ω（>>867） と考えるのはどうかと言った
４）あと、”完備化？”としているけど、”稠密”（下記 コンパクト化 wikipediaより）じゃないの？
　”定義
　Xが位相空間 、K がコンパクトな位相空間、i:X → Kが中への同相写像であり、i(X) がK で稠密であるとき、K を 埋め込み写像 i による X のコンパクト化という。”
　”例えばX を R ^n 上の縁を含まない単位円盤 {x∈ R ^n ｜ |x|<1}としたとき、縁を含んだ単位円盤は包含写像を埋め込み写像とするX のコンパクト化である。一方半径3の縁を含んだ円盤をK とすると、X はKの中で稠密ではないので、Kは包含写像に対するX のコンパクト化ではない。”
５）なお、下記完備性ご参照 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
　”数学における完備性は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。
　・実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。”

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/18

46: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/02(金) 18:53:32.20 ID:ZHN8Qh/w

つづき
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/19-
19 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/11/30(木) 22:07:46.93 ID:IqNIthYM [19/76]
>>18 つづき

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.

(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/46

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