現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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1: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/01(木) 20:35:45.70 ID:3WolrY+P

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/1

13: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/02(金) 00:08:37.62 ID:iEpfJmnQ

スレ73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/861
問答無用！ｗ（＾＾；

（>>851より）
下記の通り「時枝の手法では、あるD∈Nがあって、XDは確率1−ε（例えば99/100など）で、実数値rDを取るという」だから
「Dが一定」である必要なし！
(>>829より）
１）独立同分布(IID)を仮定しよう。具体的に、コイントスで、{0,1}を入れた（>>812）
　可算無限個の確率変数の族X1,X2,・・・（時枝記事後半にある通り）
　で任意のi∈Nで、Xiは確率1/2で、0か1かの値を取る
２）ところが、時枝の手法では、あるD∈Nがあって、XDは確率1−ε（例えば99/100など）で、実数値rDを取るという
　これは矛盾である（>>812）
３）独立同分布(IID)を仮定した瞬間、これで終りでしょｗ（＾＾
これには、全部裏付けがあるよ(下記)
>>465 >>474 >>479
（過去なんども繰り返し述べてきた通りだが、確率過程論の知識がないと、時枝不成立がなかなか理解できないのだろう）

>必ずXD=rD

(>>831より)
時枝の設定は、次の通り
スレ20 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/18-
(抜粋)
過去スレ20 再録 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/2-7
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
・・・・
列r のD番目の実数r(D)を見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はs^k(D)＝rD」と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(引用終り)
ここで、実数値rDは、（-∞，+∞）の範囲をカバー出来ていなければ、的中確率99/100など得られない
だが、コイントスのIID ２値{0,1}のみとは、真っ向矛盾している
コイントスのIID ２値{0,1}のみを仮定すれば、実数値rDで的中確率99/100など得られるはずがない！

「必ずXD=rD」というが、例えばrD=e^π 又はrD=πなどの実数値（上記時枝記事記載の通り）では、コイントスの２値{0,1}は的中できるはずがない！！（＾＾
QED

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/13

46: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/02(金) 18:53:32.20 ID:ZHN8Qh/w

つづき
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/19-
19 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/11/30(木) 22:07:46.93 ID:IqNIthYM [19/76]
>>18 つづき

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.

(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/46

65: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/03(土) 06:56:26.54 ID:ja6T8EuE

スレ73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/811-
(抜粋)
”それの証明ってあるかな
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．”（by 確率論の専門家さん(2016/07/03)）（＾＾

過去、確率論の専門家さん（ ID:f9oaWn8A）が来訪して、Pruss氏の指摘（2013）とほぼ同じことを指摘している（下記）
スレ20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/519-
519 １３２人目の素数さん 投稿日2016/07/03(日)ID:f9oaWn8A
>>518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
時枝さんのやっていることは
無限列x=(x_1,x_2,…)から定められた方法によって一つの実数f(x)を求める．
無限列x=(x_1,x_2,…）から定められた方法によって一つの自然数g(x)を求める．
P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
ということだが，それの証明ってあるかな？
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．

522 １３２人目の素数さん 投稿日2016/07/03(日)ID:f9oaWn8A
面倒だから二列で考えると
Y=(X_1,X_3,X_5,…）とZ=(X_2,X_4,X_6,…)独立同分布
実数列x=(x_1,x_2,…)から最大番号を与える関数をh(x)とすると
P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明

528 １３２人目の素数さん 投稿日2016/07/03(日)ID:f9oaWn8A
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R^N,B(R^N))の可測関数である．
もしhが(R^N,B(R^N))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R^N,B(R^N))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない

532 返信１３２人目の素数さん 投稿日2016/07/03(日)ID:f9oaWn8A
>>530
>2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/65

68: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/03(土) 07:02:13.93 ID:ja6T8EuE

>>65
＞Pruss氏の指摘（2013）とほぼ同じことを指摘している（下記）

スレ73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/479-
(引用開始)
479 返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/07/23(火) 07:22:12.96 ID:Iq5QMAZ/ [11/16]
>>474 補足

あと、下記が参考になる
（なぜ、mathoverflow>>465 の手法が成立たないのか？ ”CONGLOMERABILITY”が成立ってないというのが、数学DR Alexander Pruss氏の指摘（2013）で、それを2018年の著書で詳しく解説している）
スレ65 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1557142618/750-754
https://books.google.co.jp/books?id=RXBoDwAAQBAJ&pg=PA77&lpg=PA77&dq=%22conglomerability%22+assumption+math&source=bl&ots=8Ol1uFrjJQ&sig=ACfU3U1bAurNGJm5872wDblskzsSgsU0iA&hl=ja&sa=X&ved=2ahUKEwioiPyV_IPiAhXHxrwKHUeaArUQ6AEwCXoECEoQAQ#v=onepage&q=%22conglomerability%22%20assumption%20math&f=false
Infinity, Causation, and Paradox 著者: Alexander R. Pruss Oxford University Press, 2018
P75
(抜粋)
2.5.3 COUNTABLE ADDITITVITY AND CONGLOMERABILITY
(引用終り)

（mathoverflowの”conglomerability”関連箇所）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Dec 9 '13
　(抜粋)
（Alexander Pruss氏）
＜12＞
(抜粋)
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption・・
But we have no reason to think the event of guessing correctly is measurable with respect to the probability measure induced by the random choice of sequence and index i, and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
A quick way to see that the conglomerability assumption is going to be dubious is to consider the analogy of the Brown-Freiling argument against the Continuum Hypothesis (see here for a discussion).
http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/68

78: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/03(土) 09:41:52.10 ID:ja6T8EuE

（>>68より）
Pruss氏の指摘（2013）とほぼ同じことを指摘している（下記）

（なぜ、mathoverflow>>465 の手法が成立たないのか？ ”CONGLOMERABILITY”が成立ってないというのが、数学DR Alexander Pruss氏の指摘（2013）で、それを2018年の著書で詳しく解説している）
スレ65 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1557142618/750-754
https://books.google.co.jp/books?id=RXBoDwAAQBAJ&pg=PA77&lpg=PA77&dq=%22conglomerability%22+assumption+math&source=bl&ots=8Ol1uFrjJQ&sig=ACfU3U1bAurNGJm5872wDblskzsSgsU0iA&hl=ja&sa=X&ved=2ahUKEwioiPyV_IPiAhXHxrwKHUeaArUQ6AEwCXoECEoQAQ#v=onepage&q=%22conglomerability%22%20assumption%20math&f=false
Infinity, Causation, and Paradox 著者: Alexander R. Pruss Oxford University Press, 2018
P75
(抜粋)
2.5.3 COUNTABLE ADDITITVITY AND CONGLOMERABILITY
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/78

121: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/04(日) 06:33:29.36 ID:wYXDzdNx

(>>13より再録)
スレ73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/861
問答無用！
（>>851より）
下記の通り「時枝の手法では、あるD∈Nがあって、XDは確率1−ε（例えば99/100など）で、実数値rDを取るという」だから
「Dが一定」である必要なし！
(>>829より）
１）独立同分布(IID)を仮定しよう。具体的に、コイントスで、{0,1}を入れた（>>812）
　可算無限個の確率変数の族X1,X2,・・・（時枝記事後半にある通り）
　で任意のi∈Nで、Xiは確率1/2で、0か1かの値を取る
２）ところが、時枝の手法では、あるD∈Nがあって、XDは確率1−ε（例えば99/100など）で、実数値rDを取るという
　これは矛盾である（>>812）
３）独立同分布(IID)を仮定した瞬間、これで終りでしょｗ（＾＾
これには、全部裏付けがあるよ(下記)
>>465 >>474 >>479
（過去なんども繰り返し述べてきた通りだが、確率過程論の知識がないと、時枝不成立がなかなか理解できないのだろう）

>必ずXD=rD

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/121

206: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/04(日) 21:51:39.73 ID:wYXDzdNx

>>199
＞デデキントが無限公理を証明しようとしたと思ってる

ええ、思っていますがなにか？ｗ（＾＾
（下記ご参照）

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
R. Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 - RIMS, Kyoto University
数理解析研究所講究録 第 1739 巻 2011 年 168-179
神戸大学大学院・システム情報学研究科 渕野 昌 (Sakae Fuchino)
(抜粋)
（この講演の後，早稲田大学理工学術院数学科の足立恒雄先生とこの講演内容とも
関連する討論の機会を持ったが，formulation の舌足らずのせいか$\searrow$ うまくこちらの趣旨が伝
わらず，議論の行き違いになってしまっていたところがあった．）

3 無限の存在証明
単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには，
そもそも無限集合の存在が大前提となる．しかも，これが，「数の理論を扱かう
論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件
に証明できなくてはならない．
この事情が，[3] の第 3 版 (1911) の前書きで
略
と書きながらも，晩年の Dedekind が，無限の存在証明 ([3] の 66.) の残った
ままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，
無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研
究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．

無限公理 (無限集合の存在を主張する公理) の集合論の他の公理からの独立
性は (集合論のすべての公理を含む体系の中で),
H(ω) (hereditarily finite な集合の全体) と，この上に ∈ 関係を制限
したものの組からなる構造を作ると，そこでは，無限公理以外の集
合論のすべてが成り立つことが確かめられ，そのことから 「集合論
の公理系が無矛盾なら，集合論の公理系から無限公理を除いた体系
から無限公理は導かれない」ことが導かれる
として示すことができる．もちろん，[集合論の公理系が無矛盾なら」は，不完
全性定理以降の時代に生きる我々の後知恵であるが (9)
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/206

303: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/08(木) 21:17:31.61 ID:FwNp7oCc

市川秀志先生
「君のために特別わかりやすく述べると、実無限とは完結する無限だよ。完結する無限は、数多くの数学的問題を解いてくれるので、実にありがたい存在なのだ。だから、百年間も生き残ってきたのだよ。これに対して何か不満はあるのかね？」
「無限大という数学用語と、∞という数学記号は、あまりにも便利すぎるのじゃ。だから、それを捨てるとなると数学だけではなく、物理学までもが大混乱におちいってしまう」
ここまでは、先生も認めているのです（＾＾；
http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-introduction.htm
著者紹介 平成１６年　市川クリニック開院
http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-contents.htm
目　次
まえがき

http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/real.htm
◆　実無限 市川秀志

無限集合論にも詳しいジー校長は、自信たっぷりに言いました。

「いいかい、サクくん。実無限は非常に高度の概念であって、普通の人がそう簡単に理解できるものではないんだよ。いくら説明しても理解できない人が大勢いることは事実だ。
君のために特別わかりやすく述べると、実無限とは完結する無限だよ。完結する無限は、数多くの数学的問題を解いてくれるので、実にありがたい存在なのだ。だから、百年間も生き残ってきたのだよ。これに対して何か不満はあるのかね？」

http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-straight.htm
◆　まっすぐ 市川秀志

ラッセル老人は忠告します。
「無限大という数学用語と、∞という数学記号は、あまりにも便利すぎるのじゃ。だから、それを捨てるとなると数学だけではなく、物理学までもが大混乱におちいってしまう」
http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-real.htm
◆　実無限 市川秀志

「0.999…＝１について言えば、0.999･･･と無限に９を増やして行く行為が完結し、９の無限の配列が出来上がったと仮定しているのが実無限だ」

「0.999･･･と９を無限に増やしていくと、最後は１に一致するのかどうか？」

「可能無限では一致しないが、実無限では一致する」

「現代数学は実無限を主に採用しているから、左辺と右辺は一致すると考えている人がほとんどだ」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/303

353: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/10(土) 08:26:23.00 ID:AHc3nl9z

>>303
>「いいかい、サクくん。実無限は非常に高度の概念であって、普通の人がそう簡単に理解できるものではないんだよ。いくら説明しても理解できない人が大勢いることは事実だ。
>君のために特別わかりやすく述べると、実無限とは完結する無限だよ。完結する無限は、数多くの数学的問題を解いてくれるので、実にありがたい存在なのだ。だから、百年間も生き残ってきたのだよ。これに対して何か不満はあるのかね？」

市川秀志氏の主張は、下記ですね
「このように、可能無限と実無限がお互いにお互いを否定していることを認めると、現代数学には相反する２つの無限が混在していることがわかる」
「実無限が自己矛盾した概念ならば、公理的集合論は実無限から構築されている数学理論ですから、矛盾しています」
”完結する無限としての実無限は、終わりのない無限を終わると仮定した無限であり、相反する２つの意味を内蔵している自己矛盾した概念です。実無限が矛盾しているなら、実無限からなる用語、実無限からなる証明もすべて矛盾していることになります。”
ってことですね

http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-real.htm
◆　実無限 2 市川秀志
(抜粋)
「異なる２点間には無限の点が存在します。これが、可能無限です」

まねして、別のメンバーが言いました。

「異なる２点間には無限個の点が存在する。これが、実無限だ」

「可能無限と実無限は、微妙に異なっています」

「無限そのものを１つの完結した存在として認めることが実無限の立場さ。完結した存在としての無限とは、短くいうと完結した無限さ」

「0.999…＝１について言えば、0.999･･･と無限に９を増やして行く行為が完結し、９の無限の配列が出来上がったと仮定しているのが実無限だ」

「0.999･･･と９を無限に増やしていくと、最後は１に一致するのかどうか？」

「可能無限では一致しないが、実無限では一致する」

「現代数学は実無限を主に採用しているから、左辺と右辺は一致すると考えている人がほとんどだ」

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/353

378: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/10(土) 10:14:56.83 ID:AHc3nl9z

>>377
つづき

現在の数学は基本的に『実無限』の立場をとっています。
無限を数学的に扱うための「集合論（素朴集合論）」を確立したカントールが実無限の立場であり、その立場の元発展してきたからです（というか実無限の立場だったからこそ数学的に扱う理論にできたわけですが）。

当然パラドックスは回避できないわけですが、余程特殊なケースを考えなければ議論に問題はない（事実前回の無限級数の結果は事実と一致しています）ため、パラドックスには「目をつぶって」数学的な扱いのできる無限を採用しているわけです。

パラドックスの発生しない範囲で実無限を扱っていると言い換えてもよさそうです。
前回紹介したゼノンのパラドックスは無限級数の考え方で解消できるので「数学」の範囲内ですが、超作業法のパラドックスまで行ってしまうとそれは「数学」の範囲外であり考察の対象ではない。という考え方です。
（誤解の無いよう言っておくとこれは僕個人の考え方です、数学における無限の扱いは分野や個人によって微妙に異なっています）

一方で数学的な議論が必要でない日常生活においては我々は意外と『可能無限』的な考え方をしているような気がします。
先ほどの例でいうと「石の中に予めあらゆる石像の形が内在している」と考えるより、人間が削りだすことによってはじめて石像が生み出されると考えたほうが自然な感じがしますし、イマドキのJ-popによくある「無限の未来」がどうのこうのという歌詞の「無限」は可能無限的な意味で使われていると考えられます。

表題の「無限とは実在するか」という問題提起に対する返答は
「『実無限』の立場に立てば実在する。『可能無限』の立場に立てば実在せず可能性としての無限があるだけである」
というものになるでしょう

有限の存在である我々人間が「無限」なんてものを考えようとした場合はこのようにケースに応じて立場を変えるほかないのかもしれません

少なくとも今現在では、実無限と可能無限のどちらが正しいということは言えず、1つの立場から統一的に無限を語ることは不可能です

興味が湧いた人は、実無限と可能無限の哲学的な関係について知りたい人は『無限論』、数学における無限の扱いについて知りたい人は『無限集合論』という分野の本を見てみるといいでしょう
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/378

415: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/10(土) 20:30:35.09 ID:AHc3nl9z

>>329 補足
>＞選択公理を仮定しなければ、非可測集合は存在しないことを示した
>スレ主は全然分かってませんね
>（ルベーグ）可測集合だけの集合論が成立することを示したのであって
>そのような集合論では、必然的に選択公理は成立しません

補足
（なお、下記渕野昌先生のこのPDFは、過去複数回取り上げている。文字化けは原文ご参照）
http://fuchino.ddo.jp/papers/tohoku-ws06-talk.pdf
集合論から見た非可測集合
渕野 昌（中部大学，fuchino@isc.chubu.ac.jp）
2006 年 11 月 13 日
東北大学大学院理学研究科 数学専攻 談話会での講演
(抜粋)
(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 2 (Robert Solovay, 1970）
ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” が無矛盾なら，ZF + DC + “ すべての実数
の集合はルベーク可測” も無矛盾である．
ZFC : Zermelo-Frenkel axiom system of set theory with Axiom of Choice
選択公理を含む集合論の公理系
ZF : 集合論の公理系から選択公理を除いたもの
DC : Depenent Choice （従属選択公理）“maximal な有限枝を持たない木は無限
の枝を持つ” を主張する選択公理の弱いヴァージョン
到達不可能基数 : 極限基数で正則なもの．到達不可能基数の存在を仮定すると
“ZFC は 無 矛 盾 で あ る” が 証 明 で き る ．し た がって 不 完 全 性 定 理 に よ り，
ZFC に到達不可能基数を加えた体系は ZFC より真に強い体系である．

(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではない
か ？
定理 2 (Robert Solovay, 1970）
ZFC + “ 到達不可能基数が存在する” が無矛盾なら，ZF + DC + “ すべての実数
の集合はルベーク可測” も無矛盾である．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/415

429: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/11(日) 07:35:43.79 ID:D5VJA43k

>>427
>>「0.999…＝１について言えば、0.999･･･と無限に９を増やして行く行為が完結し、９の無限の配列が出来上がったと仮定しているのが実無限だ」
>なぜ「９を増やして行く行為」ありきなのか？　それではまるでど素人くんではないか
>実無限の立場では無限の桁が最初から存在していると考えており、「９を増やして行く行為」は不要。

循環小数（有理数）については、お説の通りだが
例えば円周率πは、人はまだ、2019年の時点では、小数点以下31兆4159億2653万5897桁までしか書けないみたい
つまりは、無理数については、小数点以下の桁を増やしていく行為ありきです（特にπ）

なので、e+π ,e-πなどは、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていないと言われる
それは
e+πとか、無限の桁が全部判明できていないからです
（∵全桁判明できれば、しっぽが循環か否かが分るはずで、少なくとも有理数 or 無理数は見れば分る）

結局、数学内では、実無限 or 可能無限の論争は、無意味だというのが、私スレ主の意見です（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
円周率
(抜粋)
円周率は無理数であり、その小数展開は循環しない。円周率は、無理数であるのみならず、超越数でもある。

円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・コーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは、小数点以下35桁までを計算した[3]。小数点以下35桁までの値は次の通りである。

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …

コンピュータによる計算の時代
2019年の時点では、円周率は小数点以下31兆4159億2653万5897桁まで計算されている[12]。

未解決問題
・π は正規数か？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数かどうかが未解決の例
e+π ,e-π ,e^π , π/e,π^π,e^e,π ^e,π ^√2,e^(π^2)
などの円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。一方で、

π+e^π,π e^π,e^√n（n は正の整数）
は、超越的であると証明されている[1][2]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/429

434: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/11(日) 08:12:43.58 ID:D5VJA43k

>>362
>リーマン球面の∞は「無限大」とは直接関係ない

リーマン球面の∞は「無限大」とは直接関係あるよ
下記、リーマン球面の拡張複素数と演算をご参照（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
リーマン球面
(抜粋)
数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点
1/0 = ∞
は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。

純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。
無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。
しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。

拡張複素数
拡張複素数 (extended complex numbers) は複素数 C と ∞ からなる。
拡張複素数の集合は C ∪ {∞} と書け、しばしば文字 C に追加の装飾を施して表記される。

演算
複素数の加法は任意の複素数 z に対して

z+∞ =∞
と定義することで拡張され、乗法は任意の 0 でない複素数 z に対して

z・∞ =∞
とし、∞ ? ∞ = ∞ と定義することで拡張される。
∞ + ∞, ∞ - ∞, 0 ? ∞ は未定義のままであることに注意せよ。
複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。∞ は乗法逆元をもたないからだ。
それでもなお、C ∪ {∞} 上の除法を次のように定義するのが習慣である。
0 でないすべての複素数 z に対して
z/0=∞ and z/∞ =0,
∞/0 = ∞ そして 0/∞ = 0。
商 0/0 および ∞/∞ は定義されないままである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/434

474: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/11(日) 14:57:29.62 ID:D5VJA43k

>>473
つづき

冪級数
詳細は「形式冪級数」を参照
非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。
ここではコーシー積における和が有限和であることを保証するために、冪指数に用いるモノイド N に対していくつかの仮定を課す必要がある。あるいは環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。
N として標準的な非負整数全体を選ぶならば問題は何もなく、形式冪級数環を N から環 R への写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。

形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

性質
・多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
　しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。
　このとき  a_1,・・・ ,a_n∈ Iであれば、  Σ_α c_α X^α ∈ A[[X_1,・・・ ,X_n]] の  X_1,・・・ ,X_n に  a_1,・・・ ,a_n を代入したものは収束する。
・ネーター環 A 上の多項式環 B := A[X1, …, Xn] の、m=(X_1,・・・ ,X_n) による完備化は、A[[X1, …, Xn]] と同型である。
　これは  B_ m の   mB_m 進位相による完備化とも同型である。
・A がネーター環であれば、C := A[[X1, …, Xn]] もネーター環であり、A が整域であれば C も整域である。
　A が体であれば、C は正則局所環 である。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/474

557: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/12(月) 10:22:37.13 ID:mCjJyXJI

>>121 補足

＜時枝記事について＞
１．時枝記事は、可算無限長の数列を、例えば100列に並べ変えて
　　ある列のD番目の箱が、確率99/100（列数を増やすと確率1−ε）で的中できるという
２．しかしながら、100列をビデオの逆回しのように、もとの１列に戻すと
　　ある列のD番目の箱が、１列ではD’番目になったとして
　　D’番目の中の数が、他の箱と独立なら、他の箱の数をいくら覗いたところで
　　D’番目の中の数の的中確率は変わらない（下記”独立”の定義ご参照）
３．つまり、D’番目の中の数として、サイコロの目を入れれば、確率1/6
　　コイントスの{0,1}を入れれば、確率1/2
　　独立の定義から、他の箱がどうであれ、確率1/6や確率1/2は不変
４．ところで、時枝記事で可算無限長の数列→有限長のの数列にすれば、不成立は全員同意している
　（∵ 時枝記事の数列しっぽの同値類は、最後尾の箱で決まってしまうので、決定番号の大小比較の確率が無意味になるから）
５．また、可算無限長の数列→N ∪ ωでコンパクト化した可算無限長の数列を考えても同様
　（∵ 有限と同様に、時枝記事の数列しっぽの同値類は、最後尾の箱で決まってしまうので、決定番号の大小比較の確率が無意味になるから）
６．こう考えると、上記３の”独立の定義から、他の箱がどうであれ、確率1/6や確率1/2は不変”が納得しやすいだろうと説明した
　（時枝の可算無限長の数列では、しっぽの同値類の決定番号のトリックを見破ることが難しくなっているだけで、”数学としては不成立”が納得しやすいだろうということ）
　　この説明と証明を混同するサルがいる（>>532な（＾＾； ）（数学的な証明は３で終わっている）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B_(%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96)
独立 (確率論)
(抜粋)
2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。
2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の確率分布が変化しないことを意味する[1]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/557

620: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/12(月) 20:10:08.86 ID:mCjJyXJI

>>617 補足
サルには数学は無理
１）サルは、数学をディベートと勘違いしている。
　　人は、数学は１本の正しい証明があれば良いと知っている
２）サルは、数学ではもし例外があればそれを明記しなければならないということを知らない。
　　人は、数学の確立された定理で例外の記載がなければ、例外の存在しない定理ということを知っている
　　例えば、下記のモーデル予想で”例外点の有限性”が明記されている
３）もし、従来の確率論・確率過程論において、時枝手法により、あるXDの確率が例外として99/100（あるいは1−ε）であるならば、それは明記されている。
　　明記が無ければ、時枝記事などクソ扱いということですｗ（＾＾；

https://mathsoc.jp/section/algebra/
日本数学会 代数学分科会 ホームページ
https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp16.html
第61回 代数学シンポジウム 2016
https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp16_files/number-theory/2-tamagawa.pdf
代数多様体の数論的基本群とその線形表現 玉川安騎男 京都大学数理解析研究所 2016
P5
定理 2 の証明 証明は、群論的部分、幾何的部分、数論的部分からなります。
数論的部分では、幾何的部分の帰結及びモーデル予想／モーデル・ラング予想（Faltings）を用いて、例外点の有限性を証明します。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ファルティングスの定理
(抜粋)
数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。
後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。
この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/620

669: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/13(火) 12:11:15.96 ID:6aC3VJqe

>>653
＞肝心の時枝記事では
＞その確率過程の出番が全然ないことに気づけない点で

現代数学の射程は広い
下記の 慶応 確率論　服部哲弥でも嫁め
もっとも、レベルが高いから難しいかもねｗ（＾＾；
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/probab.htm
日本語トップ> 講義>
確率論　服部哲弥
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/probab.pdf
確率論講義録 　(約750KB pdf file・Last update 2011/09/09)
確率論（数学３年後期選択） probab.tex 服部哲弥
(抜粋)
P6-7
1.1.3 確率変数と期待値．

確率変数とは可測関数のことである．

発展：「無限次元空間」に値をとる確率変数．
この講義では当分の間Rd 値確率変数（d 次元実確
率変数）とその極限定理（期待値などをとってからd→∞ としたもの）しか出てこないが，
値域として無限次元(‘d = ∞’) も非常に重要である．

簡単な説明．実確率変数の列Xk, k = 1, 2, 3, ・ ・ ・,
が与えられたとき，単にlim n→∞ E[Σk=1〜n Xk ]
を考えるだけなら，Rn 値確率変数(X1, ・ ・ ・,Xn) しか出てこない．
しかし，各Xk : Ω → R は関数だから，
各ω ∈ Ω 毎に数列X(ω) = (X1(ω),X2(ω), ・ ・ ・) が与えられる．
ω ∈ Ω は数列を指定する（区別する）変数であり，その意味で数列の集合と思える6 ．
そういう数列の集合上の関数としてX をとらえることができると，
数列（無限個の実数，即ち無限次元空間）上の確率論（測度論）が展開できることになる．
このようなことは実現可能であり，今日の確率論の中心的研究分野である．
しかも，パラメータ（添字）n は連続変数にすることもできる．

可算無限個の実確率変数をひとまとめX = (Xn)n∈Z+ にしたものが，ある確率空間上の確率変数
であるとみることができるとき，X : Ω → R^∞ を確率連鎖という．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/669

686: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/13(火) 18:50:52.94 ID:6aC3VJqe

>>671
＞PrussはRiddleを否定していないｗ

ほいよ
（>>78より）
英語不得意科目だねｗｗ（＾＾；
”The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption・・
But we have no reason to think the event of guessing correctly is measurable with respect to the probability measure induced by the random choice of sequence and index i, and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.”
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Dec 9 '13
　(抜粋)
（Alexander Pruss氏）
＜12＞
(抜粋)
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption・・
But we have no reason to think the event of guessing correctly is measurable with respect to the probability measure induced by the random choice of sequence and index i, and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
A quick way to see that the conglomerability assumption is going to be dubious is to consider the analogy of the Brown-Freiling argument against the Continuum Hypothesis (see here for a discussion).
http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/686

723: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/14(水) 06:48:15.56 ID:Qpe2jc/f

（>>692より）【必死のパッチ】やなｗｗ（＾＾；
サルは常識がないｗ

パラドックスとは「矛盾・逆説・背反」を意味する言葉です
● 「一見すると正しそうだけど、実際には正しくない説」
● 「一見すると間違っていそうなのに、実際には正しい説」

しかし、「一見すると間違っていそうで、実際にも正しくない説」は、パラドックスではない
例　時枝記事ｗ（＾＾

数学者の皆さん、バナッハ・タルスキーとか、無限の囚人と帽子パズルとか、モンティ・ホールとか、面白がって取り上げる
でも、時枝はだれも取り上げない
∵ 「一見すると間違っていそうで、実際にも正しくない説」ｗ

https://atarimae.biz/archives/7971
2016.05.16
あなたは何個知ってますか？頭を鍛える面白いパラドックス11選
(抜粋)
パラドックスとは「矛盾・逆説・背反」を意味する言葉です。

正確には「矛盾」よりも意味が広く、見かけ上の真偽と実際の真偽が逆転している説を指します。

● 「一見すると正しそうだけど、実際には正しくない説」
● 「一見すると間違っていそうなのに、実際には正しい説」

1 ?矛と盾
2 ?シュレディンガーの猫
3 ?アキレスと亀
4 ?抜き打ちテストのパラドックス
5 ?ブライスのパラドックス
6 ?男か？女か？のパラドックス
7 ?シンプソンのパラドックス
8 ?誕生日のパラドックス
9 ?サンクトペテルブルクのパラドックス
10 ?バナッハ・タルスキーのパラドックス
11 ?2つの封筒問題

https://www.slideshare.net/shinichitokita1/ss-102890012
【数学パズル】 無限の囚人と帽子パズル 〜選択公理を使ったトリック〜 2018.06.24 時田 信一
(抜粋)
イントロダクション ? 十数年前（西暦２０００年ぐらい？）に、「赤白の帽子をかぶった囚人 が自分の帽子の色を当てる」という論理パズルが流行った。 ? 本書では上記論理パズルの無限バージョンを紹介したい。 ? Wikipediaによれば、この論理パズルは英語では「prisoners and hats puzzle」というらしい。

https://en.wikipedia.org/wiki/Hat_puzzle
Hat puzzle

https://mathtrain.jp/monty
高校数学の美しい物語
モンティ・ホール問題とその解説 2016/05/22

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/723

773: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/14(水) 13:39:58.89 ID:rg2Nhb+h

（>>692より）【必死のパッチ】やなｗｗ（＾＾；

＜Prussのmathoverflowでの発言について＞
（サルの>>718>>722より）
(引用開始)
スレ主がコピペしたPrussの発言に対しPrussとDenisが議論をしている。その中で、Prussは「勝率99/100以上」を認めてるよ（＾＾；
For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the "independently" here isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n−1)/n. That's right.

「固定された各対戦相手の戦略について、iがその戦略とは無関係に均一に選択された場合（ここで「独立して」は確率的な意味ではありません）、少なくとも（n-1）/ nの確率で勝ちます。そのとおり。」
Pruss　敗北！！！！！！！
(引用終り)

あほサルの勝手読み
Pruss氏の発言のその後があるだろう？
”That's right. But now the question is whether we can translate this to a statement without the conditional "For each fixed opponent strategy".
　 ? Alexander Pruss Dec 19 '13 at 15:05 ”と
要するに、力点は、But以下の文にあるってことと
前文の”if i is chosen uniformly independently of that strategy”の部分が未証明だってことよｗ

＞Denisがそれを論破したところで議論が終わっている（＾＾；

サル知恵か（＾＾
Denisが、確率論が分かってないし、本を書くネタをmathoverflowで書くには余白と時間が限られているってことよ
だからPruss氏は、本を一冊書いて2018年に出版した（下記）

（参考>>78より）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Dec 9 '13

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/773

781: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/14(水) 15:27:20.20 ID:rg2Nhb+h

おサルさん、（>>692より）【必死のパッチ】やなｗｗ（＾＾；

>>775
”if i is chosen uniformly independently of that strategy”
のindex iについてｗｗ

これ下記の”Alexander Pruss Dec 19 '13 at 15:05 ”の抜粋なｗ
以下の応答を嫁めｗ（＾＾

要するに、力点は、But以下の文にあるってことと
前文の”if i is chosen uniformly independently of that strategy”の部分が未証明だってことよｗ

(参考)
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Dec 9 '13
(抜粋)
sked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
The Modification
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N-1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up. a

answered Dec 11 '13 at 21:07
Alexander Pruss
Let's go back to the riddle. Suppose u￣  is chosen randomly. The most natural option is that it is a nontrivial i.i.d. sequence (uk), independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}.
In general, Mj will be nonmeasurable (one can prove this in at least some cases). We likewise have no reason to think that M is measurable. But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.

Denis Dec 17 '13 at 15:21
Our choice of index i is made randomly, but for this we only need the uniform distribution on {0,…,n}. It is made independently of the opponent's choice.

つづき

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/781

787: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/14(水) 16:37:06.91 ID:rg2Nhb+h

おサルさん、（>>692より）【必死のパッチ】やなｗｗ（＾＾；
おサルさん、墓穴だなｗ

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Dec 9 '13
(抜粋)
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N-1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.

Alexander Pruss
Let's go back to the riddle. Suppose u￣ is chosen randomly. The most natural option is that it is a nontrivial i.i.d. sequence (uk), independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}.
In general, Mj will be nonmeasurable (one can prove this in at least some cases). We likewise have no reason to think that M is measurable. But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.

Denis Dec 17 '13 at 15:21
Our choice of index i is made randomly, but for this we only need the uniform distribution on {0,…,n}. It is made independently of the opponent's choice.

Tony Huynh Dec 9 '13 at 17:37
In order for such a question to make sense, it is necessary to put a probability measure on the space of functions f:N→R.
Note that to execute your proposed strategy, we only need a uniform measure on {1,…,N}, but to make sense of the phrase it fails with probability at most 1/N, we need a measure on the space of all outcomes.
The answer will be different depending on what probability space is chosen of course.

If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes,
then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision,
but such a measure doesn't exist.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/787

791: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/14(水) 17:01:40.68 ID:rg2Nhb+h

>>773 補足

（>>787より抜粋）
おサルさん、（>>692より）【必死のパッチ】やなｗｗ（＾＾；
おサルさん、墓穴だなｗ

Denis Dec 17 '13 at 15:21
Our choice of index i is made randomly, but for this we only need the uniform distribution on {0,…,n}. It is made independently of the opponent's choice.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/791

935: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/15(木) 17:30:30.91 ID:FaDqkhIK

>>924 追加
p 進数体「Qp は完全不連結局所コンパクトな位相体になる」（下記）ｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
p進数
(抜粋)
p 進数(英: p-adic number）とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された[1]、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。
有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。
数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば p 進量子力学を参照）。

「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。

なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法（2進法）やその結果得られる記号列（2進列）も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。

5 p 進数体の性質
6 局所大域原理

p 進数体の性質
p 進数が p 進展開と一対一に対応することから、p 進数体は連続体濃度を持つ。Q を部分体として含むので、標数は 0 である。どのように順序を入れても順序体にはできない。
実数体 R の代数閉包（複素数体 C）が二次拡大で完備であるのに対し、p 進数体 Qp の代数閉包 Qp は無限次拡大でしかも完備ではない。
その完備化は代数閉体であって、Cp と表される。これは複素数体 C と体として同型であるが、同型写像の存在は選択公理に依存しており、具体的に同型写像を与えることはできない。

Zp の単数群（可逆元全体の成す乗法群）は Zp× = {x ∈ Qp | vp(x) = 0} となる。Zp は局所環であり、その唯一の極大イデアルは
略
と表される。
p 進数体は離散付値である p 進付値に関して完備で、剰余体が有限であるので局所体のひとつである。p 進距離の定める位相に関して Zp は Qp の開かつ極大コンパクトな部分環である。
同様に、Zp の任意のイデアルは開かつコンパクトとなる。さらに、これらのイデアルたちは 0 の基本近傍系を成す。特に、Qp は完全不連結局所コンパクトな位相体になる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/935

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