現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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303: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/08(木) 21:17:31.61 ID:FwNp7oCc

市川秀志先生
「君のために特別わかりやすく述べると、実無限とは完結する無限だよ。完結する無限は、数多くの数学的問題を解いてくれるので、実にありがたい存在なのだ。だから、百年間も生き残ってきたのだよ。これに対して何か不満はあるのかね？」
「無限大という数学用語と、∞という数学記号は、あまりにも便利すぎるのじゃ。だから、それを捨てるとなると数学だけではなく、物理学までもが大混乱におちいってしまう」
ここまでは、先生も認めているのです（＾＾；
http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-introduction.htm
著者紹介 平成１６年　市川クリニック開院
http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-contents.htm
目　次
まえがき

http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/real.htm
◆　実無限 市川秀志

無限集合論にも詳しいジー校長は、自信たっぷりに言いました。

「いいかい、サクくん。実無限は非常に高度の概念であって、普通の人がそう簡単に理解できるものではないんだよ。いくら説明しても理解できない人が大勢いることは事実だ。
君のために特別わかりやすく述べると、実無限とは完結する無限だよ。完結する無限は、数多くの数学的問題を解いてくれるので、実にありがたい存在なのだ。だから、百年間も生き残ってきたのだよ。これに対して何か不満はあるのかね？」

http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-straight.htm
◆　まっすぐ 市川秀志

ラッセル老人は忠告します。
「無限大という数学用語と、∞という数学記号は、あまりにも便利すぎるのじゃ。だから、それを捨てるとなると数学だけではなく、物理学までもが大混乱におちいってしまう」
http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/2-real.htm
◆　実無限 市川秀志

「0.999…＝１について言えば、0.999･･･と無限に９を増やして行く行為が完結し、９の無限の配列が出来上がったと仮定しているのが実無限だ」

「0.999･･･と９を無限に増やしていくと、最後は１に一致するのかどうか？」

「可能無限では一致しないが、実無限では一致する」

「現代数学は実無限を主に採用しているから、左辺と右辺は一致すると考えている人がほとんどだ」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/303

483: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/11(日) 15:59:21.61 ID:D5VJA43k

>>482
つづき

測度論および積分
測度論において、測度無限大の集合や値が無限大になる積分の存在を許すことが有効であることがよくある。

このような測度は微分積分学でも自然に表れてくる。

無限積分を考えるとき、値は「無限大」になる。

他にも、
函数列の極限を考えることも有用であることは多く、函数値が無限大となることを許容しない場合には単調収束定理や優収束定理のような本質的な結果が意味を成さない。

順序構造および位相的性質
任意の（有限）実数 a に対して -∞ ? a ? +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。この順序に関して R は「任意の部分集合が上限と下限を持つ」（完備束を成す）という良い性質を持つ。

この順序から導かれる R 上の順序位相（英語版）では、集合 U が正の無限大 +∞ の近傍となる必要十分条件は U が適当な実数 a に対する集合 {x : x > a} を含むことであり、負の無限大 -∞ についても同様のことが言える。
補完数直線 R は、単位閉区間 [0, 1] に同相なコンパクトハウスドルフ空間であるから、単位閉区間の通常の距離から同相を通じて距離化可能であるが、しかし R 上の通常の距離の延長となるような距離を入れることはできない。

この位相に関して、実変数 x が +∞ や -∞ へ近づく極限や、函数の値が +∞ や -∞ へ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。

代数的性質
今までの定義に従えば、拡張実数の全体 R は体にも環にもならない。それでも以下のような十分扱いやすい性質が成立する：

その他の性質
実函数の中には極限をとることで R まで連続的に延長することができるものもある。例えば指数函数 exp や自然対数 ln は exp(-∞) = 0, exp(+∞) = +∞ や ln(0) = -∞, ln(+∞) = +∞ として連続的に延長できる。

関連項目
・実射影直線
・リーマン球面: 拡張複素数平面 C
・広義積分
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/483

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