[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/

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22: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/10/30(日) 15:06:25.84 ID:S5Jl1CaY これでだいぶレス稼いだな（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/22

141: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/05(土) 19:49:44.84 ID:DzICE8Th つづき 　話をsimplicial setに戻そう．位相空間の圏と異なり，simplicial setの圏は非常に良い圏論的な性質を持つ．それは，この圏が関手圏\displaystyle \mathsf{Set}^{\Delta^{op}}に他ならないため，\displaystyle \mathsf{Set}から多くの良い性質を引き継げる事に多くを起因する． 例えば，\displaystyle \mathsf{Set}_{\Delta}は完備かつ余完備で，カルテシアン閉でもある．また，関手圏なので極限や余極限はsectionwiseに\displaystyle \mathsf{Set}内で求めればよい．更に，これは棚から牡丹餅とも言えるが，前層の圏なので特に(Grothendieck) toposになっている． そこで，topos理論などの少々高等な圏論を用いる事も出来る．必ずしもこれら全ての性質を使うとは限らないが，なんといっても使える手が多いのだ． ●抽象化の力 　しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう． これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerveを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている． 　 　その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？それを説明するために，一つの例としてgroupoidを値に持つ(co)fibered categoryを挙げてみようと思う．古典的には，これには同値な二つの定義がある．（例えばSGA1を参照されたい．） 　Definition1.(cofibered category) 　\displaystyle D上のcofibered categoryとは2-関手\displaystyle \phi :D \to \mathsf{Grpd}の事である． 　2-関手とは関手性がup to isomorphismでしか成立しないという事を意味する．もう一つの定義はいささか複雑になる． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/141

385: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/20(日) 09:36:11.84 ID:G8Unjt5A 中西襄先生の超弦理論批判面白い（下記）（＾＾； http://kagakucafe.org/nakanishi110115.pdf 4 次元を超える時空は物理として意味があるだろうか 第64回科学カフェ・科学交流セミナー 中西襄（京都大学名誉教授） 2010年1月15日（土） 基礎物理学研究所湯川記念館パナソニックホール (抜粋) 超弦理論に対して批判的なことで知られており、彼ら（余次元理論の研究者）はあまりにも多くのことを仮定し、あまりにも?ない結果しか出さないのであると皮肉っている （「素粒子論研究」102(2001)，43のエッセイにこのことが書いてあります） 余次元 数学的に高次元の時空を考えることは極めて容易. 余次元は物理的実在として意味があるのか? 時間が2 次元以上ダメ 因果律の問題が難しい 空間的余次元を考える． 空間の定義 3 次元空間（３） 3 つの独立な方向（縦，横，上下） 4 次元時空（３＋１） 相対性理論により，空間+時間 余次元(d） 余剰次元，異次元 バルク：4 次元時空+余分の次元3+1+d次元（ｄは1以上） 素粒子論研究者が標準理論に満足していない理由 1) 電弱理論と強い力は統一されていない． 2)無限大になる（2次発散）する質量の補正項をプランク質量で切断して計算すると，不自然に巨大になる． 3) 素粒子の質量の大きさのバラツキが大きく、大きさの違い（階層性）が説明できない． 4）パラメータの数が多すぎる． 5) 重力の問題は全く埒外である これらの問題の解決に向けて ?1) に対しては大統一理論 ?2) に対しては超対称性理論 ?いずれも実験的支持なし つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/385

386: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/20(日) 09:36:44.84 ID:G8Unjt5A >>385 つづき 余次元理論批判（１）出発点そのものが自己矛盾した考え方 ?余次元空間が通常の4 次元時空と全く異質なものなら，時空とは何の関係もない！ 単なる仮想的な（内部自由度の）空間 ?4 + d 次元という高次元時空があるのなら、空間の回転に対する対称性が必要， が・・・・それは明白に現実と矛盾． 余次元理論批判（２）手で余次元空間を差別 ?スタートするときには，4 + d 次元対称なもの採用（ラグランジアン密度）． ?しかし作用積分には都合のよいよう勝手に境界条件を課する． 余次元理論は，最初からつぎはぎ理論． 余次元理論批判（３）発散の困難が深刻化 高次元の時空では紫外発散が強烈になる →すべての相互作用がくりこみ不可能． その精神的支柱の超弦理論も 非摂動論的定式化なし． 結論 余次元は存在しないと 考えるのが 最も自然である． (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/386

475: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/26(土) 13:09:03.84 ID:xEpGxFGd >>470 >>474の後半の部分の訂正： 私が1つだけ示した超越数 → 私が示した超越数 　 (といっても、特殊関数だから、複素数や実数を考える限り 　 数としては実質的に同じモノを考えている訳だが) 有理数体Q上の超越拡大体 → 有理数体Qの超越拡大体 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/475

499: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/26(土) 20:34:56.84 ID:eZ9pCsLc >>493 > "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK たとえば e = 2.71828... の小数表示を1桁ずつバラバラにした数列an (a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, ... )を 出題しようとしたとき 有限個の場合は a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8 の数字を用いて別の数列 b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828 は構成できる 有限個ならば項の数をいくつでも増やすことができるが無限個の場合は？ a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8, ... , ??? b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828, ... , ??? この場合は bn < e であるからanをeの小数表示と一致させることができない そこでanの全ての数字とeの小数表示を一致させるために同値類を導入する > 完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に > ある代表元のn番目以降の項と全て一致する anの全ての数字とeの小数表示が全て一致すれば「全ての箱に数を入れる行為」が終了したと見なせる ここまでは「問題の仮定だからOK」なのでしょう？ その結果として数当て戦略が成立する 以前にも同様のことを書いたが http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/499

529: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/27(日) 08:58:23.84 ID:dKz7cXDk >>510 補足 ヒルベルト空間の分かり易い説明 http://eman-physics.net/quantum/contents.html ＥＭＡＮの量子力学 波動関数っていうのは、難しく考えなくても、ただのド・ブロイ波（物質波）だ。 http://eman-physics.net/quantum/hilbert.html ＥＭＡＮの物理学・量子力学・ヒルベルト空間: 知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。 (抜粋) 量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。なぜならこれは数学用語だからだ。 　しかし、知らないというのは立場が弱い。学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう。 　もしこんな事態に遭遇しても、 「ああ、そうだね。ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」 と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。 ベクトル空間 内積空間・ノルム空間 完備性 さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。 内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。 ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。 　バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、数学ではこんな具合に分類されて名前が付いているんだよ、という雰囲気をつかめるように書いておいた。 　な。物理学者は「ヒルベルト空間」なんて言葉でカッコつけなくてもいいんだよ。他の数学的空間の性質と区別する必要があるときにだけ使えばいいんだからさ。 　で、気になっていることと思うが、「完備性」とは何だろうか。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/529

564: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/27(日) 14:59:36.84 ID:dKz7cXDk >>563 つづき 手続きの説明 この展開結果を (2) 式と比較すれば解決しそうである。しかし残念ながら、今回はそれほど単純には答えは出ない。できるものならやってみるといい。私ならこの程度の障害にぶつかった時点で「シュレーディンガー方程式の線形化は不可能である」と結論して早々に諦めてしまうことだろう。 　しかし頭のいい人がいるもので、A、B、Cとは全く別の係数A′、B′、C′を導入して、 という式を作り、これを展開したものが (2) 式と同じになるようにすればいいと考えたのである。係数を増やすなんて無茶なことをすればそれだけ面倒な要素が増えてしまう気がする。そういう事は出来るだけ避けたいという思いが新しい思い付きを鈍らせる原因になっているのだが、実はそれほど複雑なことにはならない。 ここで導入したMは正則な行列（つまり逆行列を持つ行列）であるとする。この置き換えを使えば、(4) 式は という、前に見たことのある式に書き換わってしまう。何と、ディラック方程式の係数を決めた時の条件式と全く同じである！徹底的に簡素化されたこの表現の事を前に「ただの趣味でしかない」と言ってしまった事を大いに反省する。 この時の波動関数ψはディラック方程式の場合と同じく、4 成分のスピノルで表されることになるわけだ。ああ、前に「相対論万歳」と叫んだあの感動は何だったのだろうか。・・・いや、今は別の感動がある。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/564

685: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2016/12/17(土) 15:11:10.84 ID:LhaePwX1 ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/685

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