現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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107: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/05(土) 10:38:24.54 ID:DzICE8Th

>>64
>＞単に世間にあるモノイドの文字の連接が、可算無限数列においても可能だということを示しただけ
>そのような連接が可能であることは俺も分かっている。
>しかし、君のやり方では不完全であり、かつ間違っており、

えーと、>>51-54だったね.
２つ添え字ijを使う頻出テクを使って書き直すよ

>>51の修正
５．ところで、２つ添え字ijを使う頻出テクを使えば、下記にできる
Z'＝{z_1,1＝3, z_1,2＝1, z_1,3＝4, z_1,4＝1, z_1,5＝5, z_1,6＝9, z_1,7＝2, z_1,8＝6, z_1,9＝5, z_1,10＝3, z_1,11＝5, z_1,12＝9,・・・
　 　 z_2,1＝2, z_2,2＝7, z_2,3＝1, z_2,4＝8, z_2,5＝2, z_2,6＝8, z_2,7＝1, z_2,8＝8, z_2,9＝2, z_2,10＝8, z_2,11＝4, z_2,12＝6,・・・}
６．Z'→X'∪Y'とみて二つの集合に分ける
　 X'＝{z_1,1＝3, z_1,2＝1, z_1,3＝4, z_1,4＝1, z_1,5＝5, z_1,6＝9, z_1,7＝2, z_1,8＝6, z_1,9＝5, z_1,10＝3, z_1,11＝5, z_1,12＝9,・・・・・・}
　 Y'＝{z_2,1＝2, z_2,2＝7, z_2,3＝1, z_2,4＝8, z_2,5＝2, z_2,6＝8, z_2,7＝1, z_2,8＝8, z_2,9＝2, z_2,10＝8, z_2,11＝4, z_2,12＝6,・・・}
７．番号をつけ直して
　 X'＝{x'_1＝3, x'_2＝1, x'_3＝4, x'_4＝1, x'_5＝5, x'_6＝9, x'_7＝2, x'_8＝6, x'_9＝5, x'_10＝3, x'_11＝5, x'_12＝9,・・・}
　 Y'＝{y'_1＝2, y'_2＝7, y'_3＝1, y'_4＝8, y'_5＝2, y'_6＝8, y'_7＝1, y'_8＝8, y'_9＝2, y'_10＝8, y'_11＝4, y'_12＝6,・・・}

これで、上記５項〜７項は可能だ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/107

139: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/05(土) 19:45:52.54 ID:DzICE8Th

つづき

これは最も説明しやすい．つまり，Hom集合に”空間”の構造が入っているという事である．通常の圏は，離散位相によりtopological categoryとみなすことができ，逆にtopological categoryが与えられればその”Hom空間”のΠ_0をHom集合として取ることにより”ホモトピー圏”を得ることができる．
異なるtopological categoryでも，”Hom空間”がup to homotopicで同型であれば，同じホモトピー圏を与えることが出来るという事である．次のモデルも本質的には変わらない．
　Definition.(simplicial category)
　simplicial categoryとはsimplicial setの圏に関するenriched categoryである．

simplicial setについては何も説明していないが，実はこれはある意味で「位相空間と同値な空間概念」とみなすことが出来る．
例えば，位相空間の特異コホモロジーはDold-Kan対応によりsimplicial setのコホモロジー論の一部とみることが出来るし，特筆すべきことは位相空間の基本群，ホモトピー群と同値な理論をsimplicial set内で構成する事が出来る．
これらは，特異単体を取る関手と幾何的実現関手により同値にうつりあう．このことから，simplicial categoryがtopological categoryと「同値な枠組み」である事は感覚的に”納得”は出来るだろう．
　
　以上のモデルは比較的その”意味”について納得しやすいものだろう．しかし，Higher Topos Theoryにおいて中心的に扱われるのは，これらではなく次のquasi categoryと呼ばれるものである．
　Definition.(quasi category)
　simplicial set Sがquasi categoryであるとはinner horn inclusion
\displaystyle \{ \Lambda^{n}_{k} \to \Delta^{n} | n\in \mathbb{N}, 0<k<n \} に対して(uniqueとは限らない)Extension Propertyを持つ事をいう．

この定義は非常に突拍子のない定義のように思われる．まず，そもそも圏ではなく「ある条件を満たすsimplicial set」が∞カテゴリーだというのだ．
また，なぜこの定義を採用する強みは何なのだろうか？さらに，これらのモデルの”同値性”とは何なのだろうか？これらを説明するにはまたもう少しの準備が必要となるため，次回以降の記事において解説しようと思う．
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/139

274: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 08:17:11.54 ID:CRbt3jrT

>>274 つづき

Relationship to the incompleteness theorem

Godel's incompleteness theorem, another celebrated result, shows that there are inherent limitations in what can be achieved with formal proofs in mathematics. The name for the incompleteness theorem refers to another meaning of complete (see model theory ? Using the compactness and completeness theorems).

It shows that in any consistent effective theory T containing Peano arithmetic (PA), the formula CT expressing the consistency of T cannot be proven within T.

Applying the completeness theorem to this result, gives the existence of a model of T where the formula CT is false. Such a model (precisely, the set of "natural numbers" it contains) is necessarily non-standard, as it contains the code number of a proof of a contradiction of T. But T is consistent when viewed from the outside.
Thus this code number of a proof of contradiction of T must be a non-standard number.

In fact, the model of any theory containing PA obtained by the systematic construction of the arithmetical model existence theorem, is always non-standard with a non-equivalent provability predicate and a non-equivalent way to interpret its own construction, so that this construction is non-recursive (as recursive definitions would be unambiguous).

Also, there is no recursive non-standard model of PA.

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/274

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