現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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273: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 08:16:01.37 ID:CRbt3jrT

>>272
英語版 （日本語版だけではよくわからん）
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem
(抜粋)
As a theorem of arithmetic

The Model Existence Theorem and its proof can be formalized in the framework of Peano arithmetic.
Precisely, we can systematically define a model of any consistent effective first-order theory T in Peano arithmetic by interpreting each symbol of T by an arithmetical formula whose free variables are the arguments of the symbol. However, the definition expressed by this formula is not recursive.

Consequences

An important consequence of the completeness theorem is that it is possible to recursively enumerate the semantic consequences of any effective first-order theory, by enumerating all the possible formal deductions from the axioms of the theory, and use this to produce an enumeration of their conclusions.

This comes in contrast with the direct meaning of the notion of semantic consequence, that quantifies over all structures in a particular language, which is clearly not a recursive definition.

Also, it makes the concept of "provability," and thus of "theorem," a clear concept that only depends on the chosen system of axioms of the theory, and not on the choice of a proof system.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/273

639: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 15:46:19.37 ID:6Rgz8i9T

>>624 追加

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」
(抜粋)

複素数の中で, Q :={ 代数的数} は代数的な手法（ガロア理論）で扱える最も広い世界であり, Q の外に少しでもはみ出た世界は全て超越数であり, 通常のガロア理論では統制されない世界である.
次のような互いに相反する２つの事実に注意したい.
注意1.14. (1) Q は(ある意味で) それほど「大きくない」. 濃度をみると|Q| = |Q| である. (実際, 各自然数i でSi をQ 係数のi 次既約多項式の集合のi 個の和集合として, 定理1.8 (3) の応用として示すことができる. もちろん定理1.8 (1), (2) も用いる)
(2) Q は(ある意味で) それなりに「大きい」. Q の体としての対称性をつかさどる群（ガロア群）は非常に豊富かつ複雑な構造をもっている.
ここで数学と言うのは対称性を非常に大事にするとともに対称性を研究対象とする学問であり対称性を記述するのが「群」の言葉である例えば多面体の対称性などは多面体群という種類の群のことばで記述される.
また体の対称性など目には見えない対称性もガロア群で司られている. ガロア理論成立以後の１世紀以上間の様々な整数論の研究の積み重ねによって有理数体上の代数拡大の対称性は以下の問題としても集約されている. そして現代数学の課題Q がもつ対称性の構造を究明したい.
という問題がある. 例えば, 次のような予想は有名である:

予想（ガロアの逆問題）
全ての有限群はQのガロア群の商となるだろう. 同値な言い換えとして, 勝手な有限群
G に対してQ の有限次ガロア拡大K でGal(K/Q)〜=G となるものが存在するだろう.

例1.15. 例えば正４角形（正方形）の対称性をつかさどる群
?σ, τ |σ4 = τ 2 = 1, τστ = σ?1?
に対しては, K = Q( 4√2, i) とすると,
τ : i 7→ ?i, 4√2 7→ 4√2σ : i 7→ i, 4√2 7→ i 4√2
なる変換は加減乗除を保つ体の同型である.

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/639

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