[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 (1002ﾚｽ)
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45: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)14:18 ID:PmfdHnoP(1/9) AAS
>>44
>Tits
Tits先生は
黒川先生のゼータ星 ”絶対数学”の神として 知りました （＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジャック・ティッツ（Jacques Tits、1930年8月12日 - 2021年12月5日）は、ベルギー生まれのフランスの数学者で、群論と結合幾何（英語版）で活躍した。ティッツの建物、ティッツ択一性（英語版）、ティッツ群（英語版）、ティッツ計量（英語版）を導入した。
経歴
ティッツはニコラ・ブルバキグループの「名誉」メンバーであった。そういう存在として、ティッツはハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターの仕事を一般化するのに力を貸し、コクセター数（英語版）やコクセター群、コクセター図（英語版）のような用語を導入した[1]。
名誉
2008年アーベル賞をジョン・G・トンプソンと共に、「その代数学、特に現代群論の構築における重要な業績に対して」受賞した[2]。
省5
47: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:20 ID:PmfdHnoP(2/9) AAS
まあな
旧スレは、新しい話題を扱うには 余白が狭い by フェルマー ；ｐ）
48(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:22 ID:PmfdHnoP(3/9) AAS
さて、ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
公理的集合論について、下記のVitali set
と フルパワー選択公理との関係を書いておく
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
省10
49(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:23 ID:PmfdHnoP(4/9) AAS
つづき
このようにして、ソロヴェイは、ZFC (ツェルメロ-フランケル集合論と選択公理を加えたもの)からの非測定集合の存在の証明において、少なくともアクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提のもとで、選択公理が不可欠であることを示しました。
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Construction
Solovay は、アクセス不可能な基数 κ を含む ZFC の モデルMから始めて、2 つのステップでモデルを構築しました。
最初のステップは、κ 未満のすべての基数を ω に縮約する強制の概念の一般集合Gを追加することにより、 Mのレヴィ縮約 M [ G ]をとることです。すると、 M [ G ] は、順序数の可算列上で定義可能なすべての実数集合がルベーグ可測であり、ベール集合の性質と完全集合の性質を持つという性質を持つ ZFC のモデルになります。(これには、すべての定義可能集合と射影的実数集合が含まれます。ただし、タルスキの定義不可能性定理に関連する理由により、定義可能な実数集合の概念は集合論の言語で定義できませんが、可算な順序数の可算列上で定義可能な実数集合の概念は定義できます。)
省3
50(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:24 ID:PmfdHnoP(5/9) AAS
つづき
Complements
ソロヴェイは論文の中で、非可算基数の使用は必ずしも必要ではないかもしれないと示唆した。
複数の研究者が、非可算基数の存在を仮定することなく、ソロヴェイの結果のより弱いバージョンを証明した。特に、クリヴィン（1969）は、すべての順序数定義可能な実数集合が可測となるZFCモデルが存在することを示し、ソロヴェイは、実数のすべての部分集合にルベーグ測度の並進不変拡張が存在するZF + DCモデルが存在することを示し、シェラ（1984）は、すべての実数集合がベール性を持つモデルが存在することを示した（したがって、この場合、非可算基数は実際には不要である）。
完全集合性の問題は、スペッカー（1957）によって解決されました。
彼は（ZFにおいて）すべての実数集合が完全集合性を持ち、最初の非可算基数ℵ 1 が正則基数である場合、ℵ 1 は構成可能宇宙においてアクセス不可能であることを示しました。ソロベイの結果と組み合わせると、「アクセス不可能基数が存在する」という命題と「ℵ 1 は正則基数である + すべての実数集合は完全集合性を持つ」という命題はZFにおいて等価であることが示されます。[ 1 ] p. 371
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)
以上
52(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:38 ID:PmfdHnoP(6/9) AAS
>>48-50 補足
(引用開始)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
省12
54: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:45 ID:PmfdHnoP(7/9) AAS
>>51
(引用開始)
誤 アクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提
正 アクセス不可能な基数の存在が ZFC と整合する（つまりZFCの公理と矛盾しない）という前提
(引用終り)
赤ペン先生ありがとう
それ、機械翻訳ままな （＾＾
原文を示しておくと
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In this way Solovay showed that in the proof of the existence of a non-measurable set from ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory plus the axiom of choice), the axiom of choice is essential, at least granted that the existence of an inaccessible cardinal is consistent with ZFC.
省6
57(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)21:01 ID:PmfdHnoP(8/9) AAS
>>56
赤ペン先生ありがとう
”１．自動翻訳にかけた後、かならず元の英文と比較せよ
２．単語の訳で、数学において独自の訳が存在する場合は、必ず直せ（これ素人は絶対にできないので、理解してないと一発でバレる）”
良い指摘だな
その通りだよ
>>55
> 数学は覚えるものではない
間違っている
数学史3000年
省7
58: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)21:18 ID:PmfdHnoP(9/9) AAS
>>52 補足
(引用開始)
纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
の存在ができる
2）一方
到達不可能な基数の存在を仮定して、
フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると
”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる
（当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない）
省18
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