[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 (1002ﾚｽ)
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41: 11/01(土)22:29 ID:Z/NQHc+p(2/2) AAS
0983 １３２人目の素数さん
2018/01/25 20:52:2
jinです。
とある筋からの情報によりますと、
海外マスゴミの余りにも卑下した記事、
山中先生の捏造問題のせいで、
アクセプトが当初より遅れているようで あります。
math jinあて
Edward Frenkel
@edfrenkel
省2
42: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/01(土)23:10 ID:i+EantH6(12/13) AAS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:u-gakugei.repo.nii.ac.jp
一元体F 上の代数群 - 東京学芸大学リポジトリ
東京学芸大学リポジトリ
吉岡雄一 著 · 2012 — 概要: しばしばF1 と書かれる一元体は通常の (可換) 体ではないものの、さまざまな数学的対象を考察できることが. 知られている。 ここでは (通常の) 体上で定義され ...
6 ページ
43: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/01(土)23:15 ID:i+EantH6(13/13) AAS
外部ﾘﾝｸ[rb]:pantodon.jp
信州大
Algebraic Topology
1個の元から成る体
Soulé の [Sou04] によると, 1個の元から成る体 F1 の存在は, 数多くの数学者が夢想したことのようである。その論文の最初の節は, F1 の歴史について書かれている。
F1 を考えるというアイデアは, 対称群と線形群を統一して扱いたい, という要望に基づくものだそうだ。n次対称群を GLn(F1) や SLn(F1) と考えたり, n個の元からなる集合を F1 上のn次元射影空間, (n+1)個の元から成る基点付き集合を F1 上のn次元 affine 空間と考えると都合の良いことがあるからである。
最初に考えたのは Tits だろうか。Soulé の論文には Tits の [Tit57] や Manin の [Man95] などの文献が挙げられている。当然であるが, 他にも有限体上の general linear group と対称群の類似に気が付いた人はいるようである。Borger の [Bor] では, R. Steinberg の [Ste51] が上げられている。確かに§2の最後にそれらしい記述がある。Lescot [Les09] は, Zhu の2000年の preprint でのアイデアとの比較が行なわれている。Lorscheid [Lor16] の解説によると, より一般に Weyl群を Lie 群 (代数群) の F1-point と見るべきのようである。
この neverendingbooks の post では, Riemann予想が motivation として書いてある。そこから link の張られている Connes と Consani と Marcolli の "Fun with F1" [CCM09] にあるように, noncommutative geometry のアイデアが使えるというのは興味深い。
省5
44(1): 11/02(日)11:52 ID:N7A5bFbh(1) AAS
TitsとGrauertの肖像写真がBonn大学の図書館に
あると聞いた。
調べたら二人とも1930年生まれだった。
45: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)14:18 ID:PmfdHnoP(1/9) AAS
>>44
>Tits
Tits先生は
黒川先生のゼータ星 ”絶対数学”の神として 知りました （＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジャック・ティッツ（Jacques Tits、1930年8月12日 - 2021年12月5日）は、ベルギー生まれのフランスの数学者で、群論と結合幾何（英語版）で活躍した。ティッツの建物、ティッツ択一性（英語版）、ティッツ群（英語版）、ティッツ計量（英語版）を導入した。
経歴
ティッツはニコラ・ブルバキグループの「名誉」メンバーであった。そういう存在として、ティッツはハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターの仕事を一般化するのに力を貸し、コクセター数（英語版）やコクセター群、コクセター図（英語版）のような用語を導入した[1]。
名誉
2008年アーベル賞をジョン・G・トンプソンと共に、「その代数学、特に現代群論の構築における重要な業績に対して」受賞した[2]。
省5
46: 11/02(日)14:49 ID:YMNLqEyF(1) AAS
◆yH25M02vWFhP
旧スレ消費しないうちに書き込んでんじゃねーよクソが
47: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:20 ID:PmfdHnoP(2/9) AAS
まあな
旧スレは、新しい話題を扱うには 余白が狭い by フェルマー ；ｐ）
48(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:22 ID:PmfdHnoP(3/9) AAS
さて、ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
公理的集合論について、下記のVitali set
と フルパワー選択公理との関係を書いておく
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
省10
49(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:23 ID:PmfdHnoP(4/9) AAS
つづき
このようにして、ソロヴェイは、ZFC (ツェルメロ-フランケル集合論と選択公理を加えたもの)からの非測定集合の存在の証明において、少なくともアクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提のもとで、選択公理が不可欠であることを示しました。
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Construction
Solovay は、アクセス不可能な基数 κ を含む ZFC の モデルMから始めて、2 つのステップでモデルを構築しました。
最初のステップは、κ 未満のすべての基数を ω に縮約する強制の概念の一般集合Gを追加することにより、 Mのレヴィ縮約 M [ G ]をとることです。すると、 M [ G ] は、順序数の可算列上で定義可能なすべての実数集合がルベーグ可測であり、ベール集合の性質と完全集合の性質を持つという性質を持つ ZFC のモデルになります。(これには、すべての定義可能集合と射影的実数集合が含まれます。ただし、タルスキの定義不可能性定理に関連する理由により、定義可能な実数集合の概念は集合論の言語で定義できませんが、可算な順序数の可算列上で定義可能な実数集合の概念は定義できます。)
省3
50(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:24 ID:PmfdHnoP(5/9) AAS
つづき
Complements
ソロヴェイは論文の中で、非可算基数の使用は必ずしも必要ではないかもしれないと示唆した。
複数の研究者が、非可算基数の存在を仮定することなく、ソロヴェイの結果のより弱いバージョンを証明した。特に、クリヴィン（1969）は、すべての順序数定義可能な実数集合が可測となるZFCモデルが存在することを示し、ソロヴェイは、実数のすべての部分集合にルベーグ測度の並進不変拡張が存在するZF + DCモデルが存在することを示し、シェラ（1984）は、すべての実数集合がベール性を持つモデルが存在することを示した（したがって、この場合、非可算基数は実際には不要である）。
完全集合性の問題は、スペッカー（1957）によって解決されました。
彼は（ZFにおいて）すべての実数集合が完全集合性を持ち、最初の非可算基数ℵ 1 が正則基数である場合、ℵ 1 は構成可能宇宙においてアクセス不可能であることを示しました。ソロベイの結果と組み合わせると、「アクセス不可能基数が存在する」という命題と「ℵ 1 は正則基数である + すべての実数集合は完全集合性を持つ」という命題はZFにおいて等価であることが示されます。[ 1 ] p. 371
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)
以上
51(1): 11/02(日)17:34 ID:kHsCJN3F(1/7) AAS
>>49
誤 アクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提
正 アクセス不可能な基数の存在が ZFC と整合する（つまりZFCの公理と矛盾しない）という前提
この程度の英語が正しく翻訳できないド素人が、ドヤ顔で数学板にコピペすんな
52(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:38 ID:PmfdHnoP(6/9) AAS
>>48-50 補足
(引用開始)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
省12
53: 11/02(日)17:39 ID:kHsCJN3F(2/7) AAS
＞●●は、〇〇を扱うには 余白が狭い by フェルマー
カラスの世田の脳味噌は、大学以降の数学を理解するには、量が少ない by 数学板読者の総意
54: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:45 ID:PmfdHnoP(7/9) AAS
>>51
(引用開始)
誤 アクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提
正 アクセス不可能な基数の存在が ZFC と整合する（つまりZFCの公理と矛盾しない）という前提
(引用終り)
赤ペン先生ありがとう
それ、機械翻訳ままな （＾＾
原文を示しておくと
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In this way Solovay showed that in the proof of the existence of a non-measurable set from ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory plus the axiom of choice), the axiom of choice is essential, at least granted that the existence of an inaccessible cardinal is consistent with ZFC.
省6
55(1): 11/02(日)17:45 ID:kHsCJN3F(3/7) AAS
＞良い子は、これを覚えておこうね
数学は覚えるものではない
理解もせずに覚えるのはバカのすること
大学にはバカでも入れるが、
大学の学問はバカには理解できない
日本の大学はバカでも卒業してしまうし
日本の企業はバカでも採用してしまうし
バカでも定年まで勤められてしまう
要するに会社員に大卒の知能はまったく必要ない（笑）
カラスの世田がこのことを証明している
省1
56(1): 11/02(日)17:54 ID:kHsCJN3F(4/7) AAS
＞ここの
＞at least granted that the existence of an inaccessible cardinal is consistent with ZFC.
＞(google訳にかけると)
＞少なくとも、到達不可能な基数の存在がZFCと矛盾しないことは認められている。
＞と訳される
人間の修正なしに機械翻訳がそのまま使えると思うのはバカ
上記の場合
誤 少なくとも、到達不可能な基数の存在がZFCと矛盾しないことは認められている
正 少なくとも、到達不可能な基数の存在がZFCと矛盾しない、と認めた上で
In this way Solovay showed that in the proof of the existence of a non-measurable set from ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory plus the axiom of choice),
省7
57(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)21:01 ID:PmfdHnoP(8/9) AAS
>>56
赤ペン先生ありがとう
”１．自動翻訳にかけた後、かならず元の英文と比較せよ
２．単語の訳で、数学において独自の訳が存在する場合は、必ず直せ（これ素人は絶対にできないので、理解してないと一発でバレる）”
良い指摘だな
その通りだよ
>>55
> 数学は覚えるものではない
間違っている
数学史3000年
省7
58: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)21:18 ID:PmfdHnoP(9/9) AAS
>>52 補足
(引用開始)
纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
の存在ができる
2）一方
到達不可能な基数の存在を仮定して、
フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると
”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる
（当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない）
省18
59(1): 11/02(日)21:19 ID:kHsCJN3F(5/7) AAS
>>57
>>数学は覚えるものではない
>間違っている
カラスの世田こそ間違っている
学習は記憶ではない
カラスの世田は必死に公式を記憶して大学入試を突破したのだろうが
そのやり方が間違っていたから大学数学が全く理解できずに落第した
理論はただ闇雲に記憶するものではない 理解するものだ
闇雲な記憶と論理の理解が区別できない馬鹿が大学で落第する
60(1): 11/02(日)21:38 ID:kHsCJN3F(6/7) AAS
>もし、可算選択公理しか認めないならば
>もっと簡単に、
>”任意の実数の部分集合が 可測である model”
>の存在が証明できるだろう
>（どうやれば良いかは知らないが）
できねぇわ 🐎🦌
なぜ「できない」と断言できるか？
可算選択公理を満たし
実数の部分集合で非可測なものが存在するmodel
が存在するから
省10
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