Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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241: Генеалогія сучаснай 11/04(火)22:04 ID:5VZBp+29(1) AAS
Я прасіў забараніць доступ адміністратара,
у тым ліку ў некалькіх паведамленнях у папярэдняй тэме,
таму, калі ласка, набярыцеся цярпення.

242: 11/04(火)22:06 ID:54iK+QXE(3/4) AAS
>>234
>もう何回目だろうか？ 5回目くらいかな
>その間君みたいなアホな突っ込みは無かったなｗ
ツッコミがない＝間違っていない
ですか？
公理を削除する＝公理の否定
みたいな誤解ですよそれ

243(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/04(火)22:18 ID:yzUd5nV9(6/9) AAS
>>235-238
ふっふ、ほっほ

一句”不勉強オチコボレのさばる便所板”（字余り）
不勉強、言い訳だけは、いちょまえ
オチコボレ、言い訳だけは、一流だ（追加）

>つまり彼は「現状ではグロタンディーク宇宙は必要」とは書いておらず

数学セミナー　2025年3月号池上大祐
を、書棚の肥やしの中から引っ張り出してきた　（＾＾

池上大祐の書いている趣旨は
1）フェルマーの最終定理には、グロタンディーク宇宙を仮定した
省13

244: 11/04(火)22:44 ID:54iK+QXE(4/4) AAS
>>243
その通り
彼は「分からない」としています
>1）フェルマーの最終定理には、グロタンディーク宇宙を仮定した
>　代数幾何の理論（圏論）が使われていた
正確には
「グロタンディークが展開した代数幾何の基礎理論（スキーム論ですかね）を用いるため、宇宙の公理、とくに、可算でないグロタンディーク宇宙の存在を仮定していることになります」
ですが
スキームを使う上でグロタンディーク宇宙が必要ということではないのでは？
あれば対象を集合に「制限して」集合論的な困難を回避できるかも知れませんが
省5

245(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/04(火)23:22 ID:yzUd5nV9(7/9) AAS
>>243 補足
検索してみると (google検索)：
Colin McLarty,The Large structures of Grothendiek founded on finite-order arithmetic. Rev.Symb.Log

で、結果は下記
＜検索結果＞
The large structures of Grothendieck founded on finite ...
arXiv
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org›math
このページを訳す
C McLarty 著 · 2011 · 被引用数: 14 — We formalize the practical insight by founding the theorems of EGA and SGA, plus derived categories, at the level of finite order arithmetic.
省27

246: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/04(火)23:23 ID:yzUd5nV9(8/9) AAS
つづき

arXiv:1102.1773v4 [math.LO] 30 Apr 2014
arXiv
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org›pdf
PDF
C McLarty 著 · 2011 · 被引用数: 14 — This paper removes the objection by proving the large structure theorems at the logical level of finite order arithmetic. Finite order ...
含まれない: Symbol. ‎Logo

The Review of Symbolic Logic: Volume 13
Cambridge University Press & Assessment
外部ﾘﾝｸ:www.cambridge.org›journals
省17

247(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/04(火)23:24 ID:yzUd5nV9(9/9) AAS
つづき

（追加）
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
How strong a set theory is necessary for practical purposes in sheaf theory?
asked May 14, 2020 at 0:09
user158035

1
Thank you David. This paper of McLarty's is really remarkable, and seems to be what I asked for, and then much more as well. –
user158035
CommentedMay 14, 2020 at 15:24
省24

248: 11/05(水)00:18 ID:y45LWemW(1) AAS
>>243
お前にまとめられるわけないやろカス
俺の書いてる話1ミリもわからんくせに何いうとんじゃ能無し
fltの証明にグロータンディックのユニバースなんぞ1ミリも使われとらんわ
その記事にある意味はグロータンディックユニバース使えばちょっと細かい議論を回避できん事もない程度の意味しかないわカス
お前にfltの証明レベルの話が理解できるわけないやろゴミ

249(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)10:13 ID:K/Lr81ky(1/12) AAS
>>245 追加
(google検索)：
Colin McLarty,The Large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic. Rev.Symbol.Logo
＜AI による概要＞
Colin McLarty's paper, "The Large Structures of Grothendieck Founded on Finite-Order Arithmetic," published in the Review of Symbolic Logic in 2020, argues that the complex tools of Grothendieck-style algebraic geometry, such as toposes and derived categories, can be founded on the much weaker system of finite-order arithmetic, rather than the stronger ZFC set theory typically used for such foundations. This research aims to close the foundational gap by showing that these powerful "large structure" tools only require a significantly weaker logical strength to be established, with one specific topos of sets already requiring this level of strength.
・Core argument: McLarty demonstrates that the theorems of Grothendieck's Éléments de géométrie algébrique (EGA) and Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA), along with derived categories, can be formally grounded using finite-order arithmetic.
・Weakest possible foundation: The paper establishes that finite-order arithmetic is the weakest possible foundation for these tools because even a single elementary topos of sets with infinity is already this strong.
・Implication for set theory: This finding implies that one does not need the full strength of ZFC, which is stronger than finite-order arithmetic, to prove the consistency of these large structures. The work shows that their foundations can be established with axioms that have the same proof-theoretic strength as finite-order arithmetic, which Zermelo set theory (Z) proves is consistent.
・Practical insight: The work formalizes the practical insight that tools of cohomology, while theoretically requiring large structures, often stay close to arithmetic in their actual application.
・Publication details: The paper was published in the Review of Symbolic Logic (Volume 13, Issue 2, 2020), with the doi: 10.1017/s1755020319000340 and can be found on arXiv as paper 1102.1773.
省2

250(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)10:13 ID:K/Lr81ky(2/12) AAS
つづき

（追加）>>247より
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
How strong a set theory is necessary for practical purposes in sheaf theory?
asked May 14, 2020 user158035
Is it known how much of ZFC is actually necessary for the basic, familiar constructions and theorems in sheaf theory, along the lines of section II.1 (and its exercises) in Hartshorne's "Algebraic Geometry" textbook?

1 Answer
Colin McLarty has looked into this
The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) pp. 296--325, doi:10.1017/S1755020319000340, 外部ﾘﾝｸ[1773]:arxiv.org
with abstract (emphasis added):
省5

251: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)10:22 ID:K/Lr81ky(3/12) AAS
>>249 追加
(google訳)（一部手直し）
＜AI による概要＞
コリン・マクラーティの論文「有限階算術に基づくグロタンディークの大規模構造」は、2020年の記号論理学のレビュー、グロタンディークスタイルの代数幾何学の複雑なツール、例えばトポスや導来カテゴリなどは、そのような基礎付けに通常使用される強力なZFC集合論ではなく、はるかに弱い有限階算術体系の上に成り立つと主張している。この研究は、これらの強力な「大規模構造」ツールが確立されるには、はるかに弱い論理的強度しか必要とせず、特定の集合のトポスがすでにこのレベルの強度を必要としていることを示すことで、基礎的なギャップを埋めることを目指しています。
・中心的な議論:マクラーティは、グロタンディークの幾何学計算手法( EGA ) とボワマリー関数セミネール( SGA ) の定理が、derived categoriesとともに、有限階数の算術を使用して形式的に根拠づけられることを示しています。
・最も弱い基盤:この論文では、無限集合の単一の基本トポスでもすでにこのくらい強力であるため、有限階数算術はこれらのツールにとって最も弱い基盤であるとしています。
・集合論への示唆：この発見は、これらの大規模構造の無矛盾性を証明するために、有限階数算術よりも強いZFCの完全な強さを必要としないことを意味する。本研究は、有限階数算術と同等の証明論的強さを持つ公理によってこれらの構造の基礎を確立できることを示しており、有限階数算術はツェルメロ集合論（Z）によって無矛盾性が証明されている。
・実践的な洞察:この研究は、コホモロジーのツールは理論的には大規模な構造を必要とするものの、実際の応用では算術に近いことが多いという実践的な洞察を形式化しています。
・出版の詳細：この論文はReview of Symbolic Logic（第13巻、第2号、2020年）にdoi：10.1017/s1755020319000340で出版され、arXivでは論文1102.1773として見つけることができます。

252(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:01 ID:K/Lr81ky(4/12) AAS
>>249 追加
>Founded on Finite-Order Arithmetic

日本語では有限階算術（あるいは高階算術か）とでもいうのか？
Second-order arithmetic、2階算術は日本語であるようですが

”Finite-Order Arithmetic”は、不勉強で初耳です
英語検索でも、”Finite-Order Arithmetic”はあまりヒットしないす；ｐ）

でも、私は高階論者でして
「人の思考は一階論理に縛られない」と思っています　（＾＾
そういう意味で、

(参考)
省12

253: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:15 ID:K/Lr81ky(5/12) AAS
>>252 補足
用語について
・高階算術
・finite order arithmetic
・Higher-order logic
・Higher order arithmetic by Colin McLarty自身 2014 mathoverflow

(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.aichi-gakuin.ac.jp
高階算術における抽象論
井澤　昇平
省30

254(1): 11/05(水)11:38 ID:Z1J+lKlF(1/4) AAS
>>243
カラスの世田は、数セミの記事すら、まともに読解できない（笑）

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
数学セミナー　2025年3月
集合論の雑学　無限についてのおはなし　池上大輔
連載　第12回

フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数

１．イントロダクション

学部生時代に後輩が院生の先輩にした質問
省24

255(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:39 ID:K/Lr81ky(6/12) AAS
>>250
>Colin McLarty has looked into this
>The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) pp. 296--325, doi:10.1017/S1755020319000340, arxiv.org/abs/1102.1773

これ、リンクのarxivは 2014年版だな
30 Apr 2014 COLIN MCLARTY
1. Outline
Finite order arithmetic (Takeuti, 1987, Part II), or simple type theory with infinity, is n-th order arithmetic for all finite n. It deals with numbers, sets of numbers, and sets of those, up through any fixed finite level. Sections 2– 3 develop basic cohomology in any one of several set theories equivalent to this.
Sections 4–5 give a weak notion of a universe U, and a simpler notion of Ucategory than Grothendieck’s (SGA 4 I.1.2), in a theory of classes and collections conservative over set theory. Section 6 proves standard theorems on toposes, derived categories, and fibered categories. This is the weakest possible level for Grothendieck’s tools since a single elementary topos of sets with infinity is already as strong as finite order arithmetic.
Section 7 relates this to proofs of Fermat’s Last Theorem.

つづく

256(2): 11/05(水)11:40 ID:Z1J+lKlF(2/4) AAS
>>254のつづき

（ここが記事の本論）

６．グロタンディーク宇宙の存在と選択公理の違い

（ａ）フェルマーの最終定理が数学的構造（Ｚ、+、×、０，１）において
∀や∃の範囲を整数全体Ｚに制限することで得られる論理式（一階算術の論理式）
で表現できる
（ｂ）一階算術の論理式の真偽がゲーデルの構成可能宇宙Ｌと集合全体Ｖで変わらない
↓
フェルマーの最終定理がZFCの下で証明可能ならばZFの下でも可能

一方、
省17

257(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:40 ID:K/Lr81ky(7/12) AAS
つづき

7. A proof of Fermat’s Last Theorem in PA?
We have founded the whole SGA for arbitrary sites, while individual proofs in number theory use only low degree cohomology of sites close to arithmetic.
Detailed bounds may suffice to get existing proofs into n-order arithmetic for relatively low n, as in Section 3.8.4. That might be a good context for such hard logical analysis as Macintyre (2011) begins for FLT.
More work might bound the constructions within a conservative extension of PA (Takeuti, 1978) to show some existing proof of FLT works essentially in PA.
It might help further reduce the proof to Exponential Function Arithmetic (EFA) as conjectured in (Friedman, 2010).
Such estimates are likely to be difficult.
This is no logical end run around serious arithmetic.
Not motivated by concern with logic, Kisin (2009b) extends and simplifies (Wiles, 1995), generally using geometry less than commutative algebra, visibly reducing the demands on set theory. And Kisin (2009a) completes a different proof of FLT by a strategy of Serre advanced by Khare and Wintenberger.

References
省3

258: 11/05(水)11:46 ID:Z1J+lKlF(3/4) AAS
>>256のつづき

蛇足

７．グロタンディーク宇宙とSGA

Colin McLarty,The large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic
では、グロタンディークによる代数幾何の基礎理論の基本文献SGAで行われる議論は、
グロタンディーク宇宙の存在を仮定せずZFCあるいはそれより弱い集合論の公理系で
展開できることを主張し、そのための詳細の議論を述べている。

私（池上氏）には、代数学の知識が足りないため、内容の真偽が検証できないが
SGAに詳しく、興味がある方は、ぜひチャレンジしてみて

259: 11/05(水)11:50 ID:Z1J+lKlF(4/4) AAS
池上氏の記事のポイント

１．選択公理は、証明できる一階算術の定理を増やさないが
グロタンディーク宇宙の存在は、証明できる一階算術の定理を増やす

２．現在の集合論の手法では一階算術の定理の範囲を変えることはできない

この程度の要約、サクッと書けない素人が、匂わせ書き込みとかすんな

不快なだけだから

260(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:52 ID:K/Lr81ky(8/12) AAS
>>255
Finite order arithmetic (Takeuti, 1987, Part II)
>>257
References
Takeuti, G. (1987). Proof Theory. Elsevier Science Ltd, 2nd edition.

竹内外史先生だね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
竹内外史（たけうちがいし、1926年1月25日 - 2017年5月10日）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Gaisi Takeuti (竹内外史, Takeuchi, Gaishi; January 25, 1926 – May 10, 2017[1]) was a Japanese mathematician, known for his work in proof theory.[2]
省16

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