[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part434 (1002ﾚｽ)
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936(1): 2024/05/07(火)16:03 ID:OgbPgxVI(1/5) AAS
部分積分で
∫ (x^n) log(x) dx
　= (1/(n+1)) x^{n+1} log(x) − (1/(n+1))∫ x^n dx
　= x^{n+1}((n+1)log(x)−1)/(n+1)^2,

x^{n+1} = u　とおくと
∫ (x^n) log(x) dx
　= (1/(n+1)^2) ∫ log(u) du
　= u(log(u)−1)/(n+1)^2
　= x^{n+1}((n+1)log(x)−1)/(n+1)^2,

x=e^t　とおくと
省8

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938(1): 2024/05/07(火)18:00 ID:OgbPgxVI(2/5) AAS
>>936
nを実数として
　(∂/∂n) x^n = (∂/∂n) e^{n･log(x)}
　　= e^{n･log(x)}・log(x)
　　= (x^n) log(x),

I[n] = ∫[1,e] (∂/∂n) x^n dx
　= (d/dn)∫[1,e] x^n dx
　= (d/dn) [ x^{n+1} /(n+1) ](x：1→e)
　= (d/dn) (e^{n+1}−1)/(n+1)
　= (n･x^{n+1}−1)/(n+1)^2,

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