[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part434 (1002ﾚｽ)
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357(1): 2024/04/20(土)20:13 ID:Rr5rlhGm(1) AAS
今日の積分

∫[0,π/4] √(1+tanx) dx　を求めよ。

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369: 2024/04/21(日)08:24 ID:85p+UetF(1/2) AAS
>>357
∫[0,π/4] √(1+tanx) dx (置換t=√(1+tanx))
= 2∫[1,√2] t^2/(1+(t^2-1)^2) dt
= 2∫[1,√2] t^2/{(t^2+√(2+2√2)t+√2)(t^2-√(2+2√2)t+√2)} dt
= 1/√(2+2√2)∫[1,√2] {-t/(t^2+√(2+2√2)t+√2) + t/(t^2-√(2+2√2)t+√2)} dt
= 1/√(2+2√2){(1+√2)arctan(1+√2+√(2+2√2)t)-(1/2)log|t^2+√(2+2√2)t+√2| - (1+√2)arctan(1+√2-√(2+2√2)t)+(1/2)log|t^2-√(2+2√2)t+√2|}_(t=1,√2)
= (1+√2)/√(2+2√2){-arctan(1+√2+√(2+2√2))+arctan(1+√2-√(2+2√2))+arctan(1+√2+2√(1+√2))-arctan(1+√2-2√(1+√2))}
= (1/2)√(2+2√2)arctan((2/7)√(2+10√2))
= √(2+2√2)arcsin(-1+√2)

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