[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part434 (1002ﾚｽ)
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117: 2024/04/11(木)23:04 ID:xK64JHhj(1) AAS
∫[0,π/2] sinx/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/2] cosx/(1+√sin(2x)) dx
= (1/2)∫[0,π/2] (sinx+cosx)/(1+√sin(2x)) dx
= (1/2)∫[0,π/2] (√2)sin(x+π/4)/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/4] (√2)cosx/(1+√cos(2x)) dx
= ∫[0,π/4] √(1+cos(2x))/(1+√cos(2x)) dx
置換 cos(2x)=(cost)^2, sin(2x)dx=cost sint dt
= ∫[0,π/2] √(1+(cost)^2)/(1+cost) cost sint dt/√(1-(cost)^4)
= ∫[0,π/2] cost/(1+cost) dt
= ∫[0,π/2] (1 - 1/(1+cost)) dt
省3
118: 2024/04/11(木)23:10 ID:/O2TM3Ga(5/5) AAS
>>104
π/2 - 1
数値積分して検証
> integrate(\(x) sin(x)/(1+sqrt(sin(2*x))),0,pi/2,rel.tol = 1e-12)
0.5707963 with absolute error < 6.8e-13
> pi/2 - 1
[1] 0.5707963
119: 2024/04/11(木)23:29 ID:5/nt4Nos(1) AAS
一目AM≧GMが見えない時点でポンコツ確定だけど普通にグラフ描かせても内点で最小値とるの見える
計算機がなんにも使えてない
120(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/04/12(金)04:01 ID:GsVVSMTi(1/2) AAS
前>>90
>>93
最大の角を2φとする二等辺三角形の底角を2θとすると、
底辺の1/2はピタゴラスの定理より√(9^2-4^2)=√65=8.0……
sinθ=4/9だからcos^2θ=1-16/81=65/81=(1+cos2θ)/2
cos2θ=2cos^2θ-1=130/81-1=49/81
とくになし。
余弦定理よりcos2φ=[2｛(81√65)/49｝^2-(2√65)^2]/[2｛(81√65)/49｝^2]
=(2・81^2・65-4・65・49^2)/(2・81^2・65)
=(81^2-2・49^2)/81^2
省7
121(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/04/12(金)04:03 ID:GsVVSMTi(2/2) AAS
前>>120
>>73
2√65
122(2): 2024/04/12(金)06:21 ID:tOkrCPMl(1/2) AAS
応用問題 (二等分の条件を緩和)
四角形ABCDで 対角線BDが角Bと角Dをどちらも二等分し、
対角線ACが角Aを二等分しているとき、 この四角形は菱形といえますか。
123: 2024/04/12(金)06:32 ID:drdB+PmN(1/2) AAS
>>120
レスありがとうございます。
プログラムで算出した想定解は
> B2maxA(opt$maximum,TRUE)*180/pi
[1] 83.62063
で83.6°
作図すると
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
124: 2024/04/12(金)07:29 ID:EJkwA63Z(1) AAS
頭悪いなぁ
125: 2024/04/12(金)09:15 ID:+aIJZesR(1/3) AAS
今気づいたんだが、132番目の素数＝743でナナシサンって読ませるのね。
上手いなぁ。
126: 2024/04/12(金)09:37 ID:+aIJZesR(2/3) AAS
>>122
ACとBDの交点をPとして、
ΔABP ≡ ΔCBP ≡ ΔCDP ≡ ΔADP
になるのがわかる。
(なぜなら、角ABP＝角CBP、、、で、
角APB＝角CPD、角BPC＝角DPA、
三角形の内角の和＝180° ( π )
なのを使うと、角ABP＋角BAP ＝ 角CDP＋角DCP、角ADP＋角DAP ＝ 角CBP＋角BCP がわかる。
だから、これを使って合同になることも分かる。)
簡単だけど、念のためやってみると案外頭の体操になるね。
127(2): 2024/04/12(金)09:47 ID:+aIJZesR(3/3) AAS
高校生の諸君へ。
フェルマーの小定理、つまり以下を示せるかやってみて欲しい。
素数 p に対し、自然数 n をpで割り切れないとする。
この時、n^(p-1) ≡ 1 (mod p) となる。
赤チャートなんかには、問題としてしれっと載っていたと思う。
自分が高一の時だったかな、初見では出来なかったけど…。
128: 2024/04/12(金)11:17 ID:W3OozUMf(1/6) AAS
>>73
面積最小のとき >>58 >>66
BC ≦ 8√5 = 17.88854382
∠A ≦ arccos(1/9) = 2arcsin(2/3) = 83.62062979°
129: 2024/04/12(金)13:08 ID:AAEWs28S(1) AAS
>>122
R言語で検証
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
対角線ACの長さを１としてAを原点とする。
直線DAの傾きをpとする。
Dのx座標をxdとすると
DCを結んで∠ADCの二等分線と直線y = -pxの交点をBとする。
∠ABD-∠CBD=0となるようにxdを決定する。
するとpの値によらずxd=0.5となる。
これをプログラムで確認。
省31
130: 2024/04/12(金)13:27 ID:W3OozUMf(2/6) AAS
AA省
131: 2024/04/12(金)13:30 ID:W3OozUMf(3/6) AAS
AA省
132: 2024/04/12(金)14:09 ID:W3OozUMf(4/6) AAS
↑
pが素数であることは使いませんでした。
本質的なことではないので…
133(1): 2024/04/12(金)15:07 ID:u6is2KPU(1) AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:oshiete.goo.ne.jp 永遠の中２帰国子（女）
134(2): 2024/04/12(金)16:17 ID:W3OozUMf(5/6) AAS
↑
整数問題
(1) 3^n = k^3 + 1 を満たす正の整数組(k,n)を全て求めよ。
(2) 3^n = k^2−40 を満たす正の整数組(k,n)を全て求めよ。
千葉大学医学部の過去問らしい。
外部ﾘﾝｸ:imgur,com/a/Z1D69MG
135(1): 2024/04/12(金)17:27 ID:EkJkC1be(1) AAS
>>114
ただの自己紹介で草
136: 2024/04/12(金)17:28 ID:sZbW4DJq(1) AAS
>>127
二項定理の拡張
(x1+x2+..+xn)^p = Σ[k1+k2+...+kn=p] (p!/(k1!k2!...kn!)) x1^k1 x2^k2 ...xn^kn
においてpを素数、x1=x2=...=xn=1とすると、p!/(k1!k2!...kn!)はki=pのときを除きpで割り切れるから
n^p ≡ 1^p+1^p+...+1^p ≡ n (mod p)
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