[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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587(1): 2017/08/15(火) 00:00:45.18 ID:CDzXTDus(1/2)調 AAS
>>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S, >>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。
588(1): 2017/08/15(火) 11:55:24.24 ID:MRdTx6vq(1/3)調 AAS
>>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ…
589(2): 2017/08/15(火) 11:56:07.50 ID:MRdTx6vq(2/3)調 AA×
>>584-585
590(1): 2017/08/15(火) 12:37:59.27 ID:MRdTx6vq(3/3)調 AAS
>>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…
591: 2017/08/15(火) 13:03:49.64 ID:CDzXTDus(2/2)調 AAS
>>589
{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM
>>590
正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。
592(2): 2017/08/16(水) 07:17:47.30 ID:QnvYtidY(1/4)調 AA×
>>588
593: 2017/08/16(水) 08:03:22.63 ID:QnvYtidY(2/4)調 AAS
>>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
594(2): 2017/08/16(水) 13:54:15.29 ID:QnvYtidY(3/4)調 AAS
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。
595: 2017/08/16(水) 14:18:02.07 ID:QnvYtidY(4/4)調 AAS
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。
596(1): 2017/08/18(金) 01:02:25.04 ID:90S02hzN(1)調 AAS
>>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。
597(3): 2017/08/18(金) 11:06:43.92 ID:WHydeLcz(1/4)調 AAS
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。
598(2): 2017/08/18(金) 12:33:10.09 ID:WHydeLcz(2/4)調 AAS
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u
599(1): 2017/08/18(金) 17:50:32.42 ID:WHydeLcz(3/4)調 AAS
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] 外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs.cornell.edu
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
600(3): 2017/08/18(金) 18:07:26.70 ID:WHydeLcz(4/4)調 AAS
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？
601(2): 2017/08/18(金) 22:17:20.07 ID:/k+bKW+I(1)調 AAS
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2
602(2): 2017/08/19(土) 03:06:30.81 ID:HQ7H9Ohy(1/3)調 AAS
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝ (←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9
>>600
a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
1より大きい2要素 p,q があったときは
(p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。
このとき相乗平均は変わらず、
（m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は
1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q）
= (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝
=（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝
= -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝
≧0
増大します。
603: 2017/08/19(土) 03:14:58.76 ID:Q+nr/ATk(1/9)調 AAS
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり
604: 2017/08/19(土) 04:32:39.26 ID:Q+nr/ATk(2/9)調 AAS
>>4 に追加。
Vasile Cirtoaje
外部ﾘﾝｸ[php]:ac.upg-ploiesti.ro
柳田五夫、初等的な不等式?ほか
外部ﾘﾝｸ[html]:izumi-math.jp
605: 2017/08/19(土) 04:33:53.44 ID:Q+nr/ATk(3/9)調 AAS
>>601-602
ありがとうございまする。
606(1): 2017/08/19(土) 05:22:53.63 ID:Q+nr/ATk(4/9)調 AAS
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)
GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？
607: 2017/08/19(土) 10:17:54.83 ID:F2dH2OvX(1)調 AAS
>>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ...
608(2): 2017/08/19(土) 13:16:25.17 ID:HQ7H9Ohy(2/3)調 AAS
>>597 >>598
s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-ccaa)，R=c(tt-aabb),
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立..
609(1): 2017/08/19(土) 14:37:54.57 ID:Q+nr/ATk(5/9)調 AAS
>>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。
f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0
というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない…
610(1): 2017/08/19(土) 15:39:17.29 ID:Q+nr/ATk(6/9)調 AAS
>>600-602
> a,b,c>0 abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2
>>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2
611: 2017/08/19(土) 16:13:06.10 ID:Qk9aUlzH(1/3)調 AAS
>>610
>>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの？
612: 2017/08/19(土) 16:34:50.44 ID:Q+nr/ATk(7/9)調 AAS
つまり、不等式を証明するだけなら、そのやり方でよいが、上限、下限であることを言うには、
a, b → +0 や a.,b → ∞ を調べて、限界値であることを確認しろってことかな？
613: 2017/08/19(土) 17:26:48.38 ID:Qk9aUlzH(2/3)調 AAS
うん
でもその解き方でもa,b->0考えれば最適であることは言えるかもね
614(1): 2017/08/19(土) 17:44:45.38 ID:Q+nr/ATk(8/9)調 AAS
>>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。
f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
＝ f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
＝ 3*f(1)
＝ 3/2
615: 2017/08/19(土) 18:43:45.36 ID:Qk9aUlzH(3/3)調 AAS
>>614
f は単調増加じゃないから f( (a+b+c)/3 ) >= 3*f( (abc)^(1/3) ) は成り立たない
むしろ逆の不等号が成り立つ
616: 2017/08/19(土) 20:10:08.88 ID:Q+nr/ATk(9/9)調 AAS
たしかに…。うっかりしていました。
617(1): 2017/08/19(土) 20:33:36.53 ID:C7tE2SmP(1)調 AAS
不等式を極めるとなんかいいことがある？
618: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:35:11.56 ID:LB3Hl+jp(1/10)調 AAS
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619: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:35:29.68 ID:LB3Hl+jp(2/10)調 AAS
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620: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:35:47.84 ID:LB3Hl+jp(3/10)調 AAS
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621: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:36:05.26 ID:LB3Hl+jp(4/10)調 AAS
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622: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:36:22.91 ID:LB3Hl+jp(5/10)調 AAS
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623: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:36:41.03 ID:LB3Hl+jp(6/10)調 AAS
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624: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:36:58.29 ID:LB3Hl+jp(7/10)調 AAS
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625: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:37:14.92 ID:LB3Hl+jp(8/10)調 AAS
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626: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:37:35.02 ID:LB3Hl+jp(9/10)調 AAS
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627: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/19(土) 20:38:02.15 ID:LB3Hl+jp(10/10)調 AAS
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628(4): 2017/08/19(土) 22:28:51.70 ID:HQ7H9Ohy(3/3)調 AAS
>>597 >>598
a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >>594
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C.
HM = 3abc/(ab+bc+ca)
=（3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +（AB+BC+CA)｝
≧（4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2}
=（AB+BC+CA)/(A+B+C)
≧（4√3)S/(a+b+c)
=（2√3)r,
したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >>608
629: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:18:58.50 ID:vRIJh8/a(1/31)調 AAS
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630: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:19:14.32 ID:vRIJh8/a(2/31)調 AAS
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631: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:19:29.20 ID:vRIJh8/a(3/31)調 AAS
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632: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:20:01.74 ID:vRIJh8/a(4/31)調 AAS
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633: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:20:18.61 ID:vRIJh8/a(5/31)調 AAS
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634: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:20:35.65 ID:vRIJh8/a(6/31)調 AAS
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635: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:20:50.79 ID:vRIJh8/a(7/31)調 AAS
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636: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:21:13.19 ID:vRIJh8/a(8/31)調 AAS
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637: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:21:29.13 ID:vRIJh8/a(9/31)調 AAS
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638: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 03:21:44.12 ID:vRIJh8/a(10/31)調 AAS
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639: 2017/08/20(日) 11:39:21.71 ID:XEX21MRP(1/6)調 AAS
>>628
かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。
640(2): 2017/08/20(日) 11:40:27.25 ID:XEX21MRP(2/6)調 AAS
疑問でござる。
(1)
a, b, c >0 の相乗平均を G とおくとき、a/(b+G) + b/(c+G) + c/(a+G) ≧ 3/2 は成り立つか？
(2)
上式で、右辺の定数をGを含む式に変えられないか？ たとえば、3/(1+G) みたいな感じで。
(3)
a, b, c >0、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc に対して、s^3u - t^3 ≧0 は成り立つか？
641: 2017/08/20(日) 12:03:13.01 ID:XEX21MRP(3/6)調 AAS
>>640
(3)は(a,b,c) = (1,1,2), (2,2,1) で正負になった。すまぬすまぬ…。
642: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:02:17.03 ID:vRIJh8/a(11/31)調 AAS
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643: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:02:34.90 ID:vRIJh8/a(12/31)調 AAS
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644: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:02:51.19 ID:vRIJh8/a(13/31)調 AAS
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645: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:03:09.02 ID:vRIJh8/a(14/31)調 AAS
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646: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:03:26.90 ID:vRIJh8/a(15/31)調 AAS
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647: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:03:44.11 ID:vRIJh8/a(16/31)調 AAS
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648: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:03:59.91 ID:vRIJh8/a(17/31)調 AAS
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649: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:04:19.34 ID:vRIJh8/a(18/31)調 AAS
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650: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:04:36.64 ID:vRIJh8/a(19/31)調 AAS
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651: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 14:04:54.14 ID:vRIJh8/a(20/31)調 AAS
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652(3): 2017/08/20(日) 18:47:22.79 ID:XEX21MRP(4/6)調 AAS
>>628
ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは？
基本対称式を使って、力任せに証明してみた。
a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、
HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2}
分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0
週末が始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`)
653: 2017/08/20(日) 18:48:49.02 ID:XEX21MRP(5/6)調 AAS
>>652
正確には、分子じゃなくて、分子の中括弧の中身。
654(1): 2017/08/20(日) 18:56:12.70 ID:XEX21MRP(6/6)調 AAS
>>652
何度もすまぬ。
Ravi変換 (b+c-a)/2 = x、…をしてから、x, y, z の基本対称式 s, t, u を使ったのでござった。
655: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:07:16.76 ID:vRIJh8/a(21/31)調 AAS
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656: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:07:34.08 ID:vRIJh8/a(22/31)調 AAS
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657: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:07:52.31 ID:vRIJh8/a(23/31)調 AAS
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658: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:08:09.73 ID:vRIJh8/a(24/31)調 AAS
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659: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:08:27.26 ID:vRIJh8/a(25/31)調 AAS
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660: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:08:43.22 ID:vRIJh8/a(26/31)調 AAS
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661: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:09:00.84 ID:vRIJh8/a(27/31)調 AAS
￥
662: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:09:20.13 ID:vRIJh8/a(28/31)調 AAS
￥
663: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:09:38.63 ID:vRIJh8/a(29/31)調 AAS
￥
664: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 22:09:56.51 ID:vRIJh8/a(30/31)調 AAS
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665(1): 2017/08/20(日) 22:50:23.44 ID:mA3fdDEU(1/2)調 AAS
>>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば
P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0.
(略証)
bはa，cの中間にあるとしてよい。
(a-b)(b-c）≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、
P-Q+R ≧0
これらより、
P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2
≧ 0, （終）
いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu−Schur 不等式と云うらしい。
詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照
>>640
(1) >>449(1）と同じでつ。
(2）同次式ゆえ、定数でつ。
>>654
それなら、>>652 は >>628 と同じでつね。
666: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/20(日) 23:01:59.99 ID:vRIJh8/a(31/31)調 AAS
￥
667(1): 2017/08/20(日) 23:03:56.11 ID:mA3fdDEU(2/2)調 AAS
>>617
専門バカになるでござる。
（ただし、専門を持たぬ只のバカよりは、すこーしマシである。）
668: 2017/08/21(月) 09:09:30.43 ID:QiJqP8rB(1/3)調 AAS
>>628
a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。
A+B=2c≧0，B+C=2a≧0，C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは１つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C),
669(3): 2017/08/21(月) 17:53:20.03 ID:8ztbkIZ8(1)調 AAS
a, b, c >0 かつ abc≧1 のとき、
(1) [2004 ウクライナ、 文献 [9] 佐藤(訳)P.139]
a^3 + b^3 + c^3 ≧ ab+bc+ca
(2) [2006.3 エレ解、一松信]
a^2b + b^2c + c^2a ≧ ab+bc+ca
(3) [疑問]
上の左辺 a^3 + b^3 + c^3 と a^2b + b^2c + c^2a の大小は定まるのか？
巡回不等式に有効な手段って何？ 真ん中の数を固定して場合分けくらいかな？
670(2): 2017/08/21(月) 22:19:47.87 ID:QiJqP8rB(2/3)調 AAS
>>669
(abc)^(1/3) = G とおき、AM-GM する。
(1)
a^3+a^3+b^3 -3aab = (2a+b)(a-b)^2 ≧ 0
ゆえ、(2)に帰着する。
(2) aab+aab+bbc ≧ 3aG,
巡回的にたす。
(3) Muirheadの不等式
671: 2017/08/21(月) 22:26:23.89 ID:QiJqP8rB(3/3)調 AAS
>>669
>>670 の訂正
(2) aab + aab + bbc ≧ 3abG
でござった。
(3) 非対称のときは微妙な場合もあるが、この場合は成立つでござる。
672: 2017/08/21(月) 22:55:53.49 ID:qV/a4a+5(1)調 AAS
>>670
(3)muilheadで出来ると？
673: 2017/08/22(火) 00:50:18.83 ID:fGEhoquB(1/8)調 AA×
>>2>>1>>2
外部ﾘﾝｸ:www.math.s.chiba-u.ac.jp
674(1): 2017/08/22(火) 00:57:31.85 ID:fGEhoquB(2/8)調 AAS
古いmemoを見つけたので、紛失する前に書き込んでおく。
証明は簡単だけど、見た目がよかったので。
〔出典不明〕
A(a,b) = (a+b)/2、G(a,b) = √(ab)、A(a,b,c) = (a+b+c)/3 などと書くことにする。
正の数 a, b, c, d に対して、
A(a,b,c,d) ≧ G(A(a,b,c),A(b,c,d),A(c,d,a),A(d,a,b)) ≧ G(A(a,b).A(a,c).A(a,d).A(b,c).A(b,d).A(c,d).) ≧ G(a,b,c,d)
675: 2017/08/22(火) 13:46:51.51 ID:yCSUoaY7(1)調 AAS
>>674
[第6章.151-159］の辺りにござる。
G(A(a,b,c), A(b,c,d), A(c,d,a), A(d,a,b))^4
= (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)/81
= (sst -su +v)/81,
G(A(a,b), A(a,c), A(a,d), A(b,c), A(b,d), A(c,d))^6
= (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)/64
= (stu -ssv -uu)/64,
A(ab, ac, ad, bc, bd, cd)
= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6
= t/6,
A(abc, bcd, cda, dab)
= (abc+bcd+cda+dab)/4
= u/4,
676: 2017/08/22(火) 15:23:36.14 ID:fGEhoquB(3/8)調 AAS
>>669(3)
(a^2, b^2, c^2) と (a,b,c) は大小の順が同じだから、
『同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順除籍の和』 で、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a
で問題ない蟹？
677(8): 2017/08/22(火) 18:38:27.52 ID:fGEhoquB(4/8)調 AAS
(1) [1999 Russia]
a, b, c >0 に対して、1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
(2) [1999 Russia]
a, b, c >0、abc=1 に対して、1 + 3/(a+b+c) ≧ 6/(ab+bc+ca)
(3) [不明]
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(a+b+c) + 1/3 ≧ 3/(ab+bc+ca)
678(1): 2017/08/22(火) 18:49:45.42 ID:fGEhoquB(5/8)調 AAS
(1) [出典不明]
a, b, c, d >0、abcd=1 とする。
1/(1+ab+bc+ca) + 1/(1+bc+cd+db) + 1/(1+cd+da+ac) + 1/(1+da+ab+bd) ≦ 1
[疑問]
1/(1+ab+bc+cd) + 1/(1+bc+cd+da) + 1/(1+cd+da+ab) + 1/(1+da+ab+bc) だと、どうなるのだろう？
679(11): 2017/08/22(火) 18:56:05.03 ID:fGEhoquB(6/8)調 AA×
>>0
680(1): 2017/08/22(火) 19:09:30.23 ID:fGEhoquB(7/8)調 AAS
[おまけ]
友愛数みたいな関係でござるな。
(1)
a, b, c >0、a+b+c=3 のとき、a^2 + b^2 + c^2 + abc ≧ 4.
(2)
a, b, c >0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のとき、a+b+c ≦3.
681(1): 2017/08/22(火) 21:17:04.84 ID:fGEhoquB(8/8)調 AAS
>>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない…
682(1): 2017/08/23(水) 17:00:04.08 ID:edu8Brze(1/2)調 AAS
>>667
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
a=b<c のとき不成立（a=b≧c では成立）でござる。
683: 2017/08/23(水) 17:04:32.35 ID:edu8Brze(2/2)調 AAS
>>680
(1）題意より
(左辺）= s(ss-2t)/3 + u
=｛4s^3 + 3(s^3 -4st+9u) + 2(ss-3t)}/27
≧（4/27)s^3
= 4,
セビリアMO-2008改
佐藤(訳)、[9] 問題3.118
(2)
題意より、0<a〜c<2、
（3-a-b-c)(3+a-b-c+bc）=（4-aa-bb-cc-abc）+ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1)
≧ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1）≧0
∵ b+c-1>0 のとき、AM-GMで（2-b)(2-c)(b+c-1)≦1
イランMO-2002、A.16
>>682 (3)
不等号が逆でござった。
684: 2017/08/23(水) 22:42:04.81 ID:6dHoZEIo(1/2)調 AAS
>>679
>>681
(3)
a=y/x, ... とおくだけ
(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか
685: 2017/08/23(水) 23:35:42.86 ID:6dHoZEIo(2/2)調 AAS
>>678
両方とも逆数考えればいい
686: 2017/08/24(木) 00:19:32.68 ID:9N+3FV4m(1/3)調 AAS
>>677
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
成り立ったでござる。死んでお詫びを…（AA略
687(3): 2017/08/24(木) 01:23:07.53 ID:9N+3FV4m(2/3)調 AAS
>>679
(2)
ss =（aa+bb+cc）+ t + t,
s^6 ≧｛(aa+bb+cc) +t +t}^3
≧ 27(aa+bb+cc)tt
≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴（s/3)^5 ≧｛(aa+bb+cc)/3}u,
〔補題196〕
(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。（じゅー）
(4)
チェビシェフで，
?同順序積 ≧ ?乱順序積，
（左辺）≧（1/3)(a+b+c-3){1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)}≧0,
688(2): 2017/08/24(木) 03:22:45.56 ID:rYRHhAcs(1)調 AAS
>>687
> 〔補題196〕
> (8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
左側はアッサリ、右側はサッパリ…。
8(a+b+c)^3 - 27(a+b)(b+c)(c+a) = 3(s^3-4st+9u) + 5s(s^2-3t) ≧ 0
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 - 24abc(aa+bb+cc) = s^3t - 25s^2u +48tu
--------------------------------------------------
ついでに、過去ログ漁っていて出てきたやつですが、すっきりした証明ができませぬ。
[第６章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3),
{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 - 27abc(a^3＋b^3＋c^3)
= s^2t^2 - 27s^3u + 81stu - 81u^2
次数が上がると、s, t, u の不等式のどれを組み合わせるか難しくなる。
689(3): 2017/08/24(木) 10:30:59.65 ID:9N+3FV4m(3/3)調 AAS
>>688
〔補題196〕の略証
チョト難しいのでSchurの拡張で。
bはa、cの間にあるとする。
(左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
-----------------------------ｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰ--------------------
[第６章.908］の略証
S = aaa+bbb+ccc, T =（ab)^3+(bc)^3+(ca)^3,
p = aab+bbc+cca, q = abb+bcc+caa, u=abc とおく。
pq = T+uS+3uu ≧ 3u(3ST)^(1/3）≧ 3u√(3Su）より、
（左辺）=｛(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 =（S+p+q)^2 ≧ 9(Spq)^(2/3）≧ 27Su，
Casphy!-不等式2-177 じゅー
690(5): 2017/08/25(金) 00:31:48.00 ID:oetrvUQn(1/3)調 AAS
>>677 (3)
st +6Gt -9GGs ≧ 0,
>>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,
の特効薬は無いでござるか？（G=(abc)^(1/3))
3次方程式
X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
27?^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
=（st-9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu -9stu)
=（st+9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu)
=（st+6GGs +6Gt +9u)^2 -4(t +Gs +3GG)^3,
3つの実根 a,b,c をもつときは
st+6GGs+6Gt+9u ≧ 2(t+sG+3GG)^(3/2),
と思われるが、さて…
691(1): 2017/08/25(金) 01:15:11.00 ID:3FtU8w0T(1/2)調 AAS
>>679
>>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか
692: 2017/08/25(金) 01:21:08.15 ID:3FtU8w0T(2/2)調 AAS
>>691
二個目の不等式成り立たないや
693: 2017/08/25(金) 04:26:49.66 ID:Yhp4f37o(1/2)調 AAS
>>690
f(X) = X^3 -sX^2 +tX -u
f'(X) = 3X^2 - 2sX + t
AN-GMより f'(X)の判別式 D/4 = s^2-3t ≧0
f'(X)=0の解α,βは、α+β, αβ>0 より、α,β>0
また f(0)=-u<0
グラフを考えると、f(X)=0が正の解a, b, cをもつ条件は f(α)f(β)≦0
f(α)f(β) = -(s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2) ≦0
∴ s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 ≧0
残念無念…
s, t, u に関する既知の不等式が出てきただけでござった。
s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
('A`) ,..;:〜''"
ﾉ( ﾍﾍ ,,.､;;:〜'''
694(2): 2017/08/25(金) 17:27:20.09 ID:oetrvUQn(2/3)調 AAS
>>677 (3) が成立つとする。
2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -（s+6)(5s-6）= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
9s/(s+6）≧（5s-6)/s,
したがって
t ≧（5s-6)/s,
または
st + 6 ≧ 5s >>679（1)
それぢゃ、>>677（3）はどうするか？
695(2): 2017/08/25(金) 19:30:02.99 ID:Yhp4f37o(2/2)調 AAS
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明するときの以下の変形は、どうやって思いつくんでしょうか？
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
F_2 = {(x+y-z)2(x-y)^2 + (y+z-x)2(y-z)^2 + (z+x-y)2(z-x)^2 }/2
696: 2017/08/25(金) 22:34:00.62 ID:oetrvUQn(3/3)調 AAS
>>695
>>665 にある文献か
Casphy! - highmath - 不等式2 - 175（じゅー）
をサンショウウオ
697(1): 2017/08/26(土) 01:33:14.23 ID:MEky4IFO(1/2)調 AAS
[疑問１]
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明できるのは、n=0,1,2,3 以外には知られていないのかな？
検索の仕方が下手なのか見当たらんでござる。
[疑問２]
>>677のように、同次でない不等式の証明で、お決まりのテクニックって何じゃらほい？
条件式を使って無理やり同時にして、基本対称式の不等式を利用するくらいしか思いつかないけど、
この問題では、条件式を使っても３乗根が現れて大変だし…
698(2): 2017/08/26(土) 02:00:02.17 ID:a5WQhO5r(1/3)調 AAS
>>695 >>697 [1]
拙者にも分かりませぬ。
Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
では対称性は崩れませぬが、うまく証明できるのか疑問だし。
699: 2017/08/26(土) 02:32:02.40 ID:MEky4IFO(2/2)調 AAS
>>698
> Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
ちょうど今、その等式を導いたとこでござる。
それから F_1 を対称性を保つように変形中に次式が出てきて、Wolfram先生に確認してもらった。
F_1
= (1/2){(x^2+y^2-z^2)(x-y)^2 + (y^2+z^2-x^2)(y-z)^2 + (z^2+x^2-y^2)(z-x)^2}
= (1/2){(x+y-z)^2(x-y)^2 + (y+z-x)^2(y-z)^2 + (z+x-y)^2(z-x)^2}
しかし、ここから （結果を知らずに） 次式に変形する方法が思いつかない。
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
700(1): 2017/08/26(土) 15:31:34.41 ID:a5WQhO5r(2/3)調 AAS
>>698
3Ｆ_2 = 2(x+y+z)Ｆ_1 +｛(x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx)}Ｆ_0,
を使うと
Ｆ_3 =（xx+yy+zz)Ｆ_1 - 2xyzＦ_0
となるが、その後が…
700げとー
701: 2017/08/26(土) 16:54:34.17 ID:a5WQhO5r(3/3)調 AAS
>>700
P=p(z-y), Q=q(x-z), R=ｒ(y-x), p+q+r=0 のとき
P(x-y)(x-z）+ Q(y-z)(y-x）+ R(z-x)(z-y)
=（p+q+r)?
= 0,
ここに?=（x-y)(y-z)(z-x),
例 p=z-y，q=x-z，r=y-x のとき P=pp、Q=qq、R=rr.
702(1): 2017/08/27(日) 00:28:26.43 ID:NetfQ0ow(1/8)調 AAS
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9u）= t(t-3)^3 + 3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9u),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
= 2/s - (9-t)/3t
≧ 2/s -8t/(s^3 +9u)
= 2(s^3 -4st +9u)/{s(s^3 +9u)｝
= 2F_1(x,y,z)/{s(s^3 +9u)}
≧ 0,
703(2): 2017/08/27(日) 00:47:52.80 ID:NetfQ0ow(2/8)調 AAS
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9uu）= ｔ(t-3)^3 +3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
= 2/(su) - (9-t)/3t
≧ 2/(su) -8t/(t^3 +9uu)
= 2(t^3 -4stu +9uu)/{su(t^3 +9uu)｝
= 2uu･F_1(1/x,1/y,1/z)/{s(t^3 +9uu)}
≧ 0,
704(4): 2017/08/27(日) 01:08:20.58 ID:NetfQ0ow(3/8)調 AAS
>>679 (1) >>690
・t≧5 のときは明らか。
・3≦t≦5 のとき、
24t -（5-t)(t^3 +9uu）=（t-3)^4 +7(t-3)^3 +9(t-3)^2 +6(t-3）≧0,
5-t ≦ 24t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）= 6 -（5-t)s
≧ 6 -24st/(t^3 +9uu)
= 6(t^3 -24stu +9uu)/(t^3 +9uu)
= 6u^3･F_1(1/x,1/y,1/z)/(t^3 +9uu)
≧ 0,
705: 2017/08/27(日) 02:24:43.88 ID:NetfQ0ow(4/8)調 AAS
>>702 は大間違いです。
706(3): 2017/08/27(日) 10:23:54.77 ID:NetfQ0ow(5/8)調 AAS
>>703 >>704
t^3 -4stu +9uu = u^3･F_1(1/x,1/y,1/z）= uu･F_{-2}(x,y,z)
=｛(z^5)(xx-yy)^2 + (x^5)(yy-zz)^2 +(y^5)(zz-xx)^2}/{(x+y)(y+z)(z+x)}
≧0
を使いますた。
707(1): 2017/08/27(日) 16:11:26.92 ID:NetfQ0ow(6/8)調 AAS
>>677
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.86
u=1 のときは（s,t）を入れ換えても成り立つ。（duality)
708(2): 2017/08/27(日) 16:26:59.89 ID:NetfQ0ow(7/8)調 AAS
>>388 (5) >>450
〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r,
ここに K(r）は
1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)},
2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2),
kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2
>>449 (2)
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
(1+ab)(1+a）= ab(1+c)/(1+a), など。
AM-GMする。
>>453
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.61
x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy, (AM-GM）より
x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx,
(x,y,z）=（a,b,c）と（x,y,z）=（ab,bc,ca）をたす。
709(1): 2017/08/27(日) 20:32:51.97 ID:u/VQjdir(1)調 AAS
>>689
> 〔補題196〕の略証
> (左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん？
710: 2017/08/27(日) 23:16:42.54 ID:NetfQ0ow(8/8)調 AAS
>>709
その通り。
（a,b,c）=（1,1,1）以外に（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）でも等号が成立するから、チョト難しい。
他に使えそうな方法は無いか？
711: 2017/08/28(月) 00:00:38.32 ID:4VsD2YTN(1/3)調 AAS
>>708
解答も訂正。
>>453
チェビシェフ（または AM-GM）で
a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u,
(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu,
辺々たす。
712(1): 2017/08/28(月) 01:54:30.17 ID:4VsD2YTN(2/3)調 AAS
>>679 (5)
a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z),
(左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3
=（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3
=｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s
≧0, （s=x+y+z≧3)
713(3): 2017/08/28(月) 03:43:27.12 ID:Xt3/xWpv(1/5)調 AAS
(1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
AOPS：外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
[疑問１]
(1)の証明について、
(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)
>>687 〔補題196〕 の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)
(A),(B)から、
(a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2)
等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。
このやり方は、何か間違っているのかな？
A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧C、C≧B を証明することがあるけど、
A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな？
（具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある）
[疑問２]
(2)の証明が分かりませぬ…。
(1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか（嘘訳）」
と書いてあるけど、ピンときませぬ…。
(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
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