[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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1(3): 不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) 2017/06/25(日) 17:20:59.55 ID:dLSgUfzK(1/9)調 AA×
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2(9): 2017/06/25(日) 17:21:50.49 ID:dLSgUfzK(2/9)調 AAS
不等式の和書
[1] 不等式（数学クラシックス11），ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
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[2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
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[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
外部ﾘﾝｸ:www.kyoritsu-pub.co.jp
[5] 不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
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[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
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[8] 不等式 〜 21世紀の代数的不等式論 〜，安藤哲哉，数学書房，2012年
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[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
3(1): 2017/06/25(日) 17:22:38.22 ID:dLSgUfzK(3/9)調 AAS
不等式の項目を含む和書
[1] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
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[2] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
外部ﾘﾝｸ:www.asakura.co.jp
[3] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
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[4] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
外部ﾘﾝｸ:www.asakura.co.jp
[5] 最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[6] 最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
不等式の洋書
[1] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[2] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[3] Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[4] Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
[5] Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[6] Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
4(2): 2017/06/25(日) 17:23:11.77 ID:dLSgUfzK(4/9)調 AAS
不等式の記事
[1] 特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2] 特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[3] 連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号，2014年に書籍化（不等式の和書[10]）
外部ﾘﾝｸ:www.tokyo-s.jp
不等式の埋蔵地
[1] RGMIA 外部ﾘﾝｸ:rgmia.vu.edu.au
[2] Crux Mathematicorum Synopses 外部ﾘﾝｸ:www.journals.cms.math.ca
[3] Maths problems 外部ﾘﾝｸ:www.kalva.demon.co.uk
[4] Mathematical Inequalities & Applications 外部ﾘﾝｸ:www.ele-math.com
[5] American Mathematical Monthly 外部ﾘﾝｸ[html]:www.maa.org
[6] Problems in the points contest of KöMaL 外部ﾘﾝｸ:www.komal.hu
[7] IMO リンク集 外部ﾘﾝｸ:imo.math.ca
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program 外部ﾘﾝｸ:www.cms.math.ca
[10] Mathematical Excalibur 外部ﾘﾝｸ:www.math.ust.hk
[11] MathLinks Contest 外部ﾘﾝｸ[html]:www.mathlinks.ro
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE 外部ﾘﾝｸ:www.math.northwestern.edu (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld 外部ﾘﾝｸ:mathworld.wolfram.com
[14] GRA20 Problem Solving Group 外部ﾘﾝｸ[html]:www.mat.uniroma2.it
[15] American Mathematical Monthly Problems 外部ﾘﾝｸ[html]:www.mat.uniroma2.it
[16] Journal of Inequalities and Applications 外部ﾘﾝｸ:www.hindawi.com
[17] すうじあむ 外部ﾘﾝｸ:suseum.jp
海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 外部ﾘﾝｸ:jipam.vu.edu.au
[2] MIA Journal 外部ﾘﾝｸ:www.mia-journal.com
[3] MathLinks Math Forum 外部ﾘﾝｸ[html]:www.mathlinks.ro
5: 2017/06/25(日) 17:23:50.34 ID:dLSgUfzK(5/9)調 AA×
6: 2017/06/25(日) 17:30:41.80 ID:dLSgUfzK(6/9)調 AA×
7(1): 2017/06/25(日) 18:09:14.93 ID:dLSgUfzK(7/9)調 AA×
8: 2017/06/25(日) 18:09:37.90 ID:dLSgUfzK(8/9)調 AAS
三角不等式
AM-GM不等式
Cauchyの不等式
Chebyshevの不等式
Holderの不等式
Jensenの不等式
並べ替え不等式
Maclaurinの不等式
Newtonの不等式
Power Mean不等式
Minkovskiの不等式
Bernoulliの不等式
Muirheadの不等式
Karamataの不等式
ぬるぽビッチの不等式
9(1): 2017/06/25(日) 18:37:41.25 ID:MnGS57Na(1)調 AAS
>>7
不等式（大関・青柳）
復刊キボンヌ！
不等式への招待
は尼でオンデマンド版が買えるけど
10: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/25(日) 18:45:17.11 ID:i2ZaylUY(1/2)調 AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
￥
11: 2017/06/25(日) 18:45:50.05 ID:dLSgUfzK(9/9)調 AAS
>>9
( ﾟ∀ﾟ)つ [2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
12(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/25(日) 18:49:54.11 ID:i2ZaylUY(2/2)調 AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
￥
13: 2017/06/26(月) 00:45:51.18 ID:69lL3x+q(1)調 AAS
>>12 こんの、ハゲーーーっ！！
14: 2017/06/26(月) 02:02:42.73 ID:WMgNNINg(1)調 AAS
1001 1001 Over 1000 Thread
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
life time: 1569日 3時間 9分 28秒
約4年かかってて草
15: 2017/06/26(月) 03:33:28.36 ID:ChRIm5Q7(1)調 AAS
全国521駅｢10年累計鉄道自殺数｣ランキング
2016年06月22日
西八王子駅（東京）……39件
桶川駅（埼玉）…………34件
川崎駅（神奈川）………31件
新小岩駅（東京）………30件
新宿駅（東京）…………30件
八王子駅（東京）………30件
外部ﾘﾝｸ:toyokeizai.net
ＪＲ川崎駅前にマタハリー(ピア、サントロぺ)のパチンコ台が約１８００台、パチスロ台が約１０００台ほどある。
その台はすべて、遠隔操作されています。
大勝ちしてる人のほとんどが内子です(ピアは内子の人数が日本一多い、詐欺犯罪組織です)。
今は大手のパチンコ店の大当たりはすべて遠隔大当たりなんです。
大当たりはアホ幹部がパソコンを１、３回クリックして大当たりさせています。
借金が原因で自殺してる人が多いけど、その原因は遠隔大当たりしかないパチンコ、パチスロなんです。
新小岩と新宿にはマルハンとエスパスがあります(エスバスは新宿歌舞伎町で一番大きなパチンコ店)。
西八王子駅の隣駅の八王子駅にはピアがあります(八王子駅にはパチンコ店がたくさんあります)。
16: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:42:31.25 ID:dYpMJpMg(1/10)調 AAS
￥
17: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:42:55.28 ID:dYpMJpMg(2/10)調 AAS
￥
18: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:43:15.08 ID:dYpMJpMg(3/10)調 AAS
￥
19: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:43:33.11 ID:dYpMJpMg(4/10)調 AAS
￥
20: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:43:50.23 ID:dYpMJpMg(5/10)調 AAS
￥
21: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:44:07.51 ID:dYpMJpMg(6/10)調 AAS
￥
22: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:44:23.59 ID:dYpMJpMg(7/10)調 AAS
￥
23: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:44:42.15 ID:dYpMJpMg(8/10)調 AAS
￥
24: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:45:01.79 ID:dYpMJpMg(9/10)調 AAS
￥
25: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月) 04:45:19.48 ID:dYpMJpMg(10/10)調 AAS
￥
26(4): 2017/06/28(水) 11:25:43.61 ID:GT7HZs9l(1)調 AAS
Σ(a_i)^2≧(1/n)(Σ(a_i))^2
和は１からｎまで
a_iは実数です
これって成り立ちますかね？
a^2+b^2≧(1/2)(a+b)^2
a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2
みたいな感じです
成り立つならその証明を、成り立たないなら反例をおしえてほしいです
27: 2017/06/28(水) 12:26:25.62 ID:/JHIATvZ(1)調 AAS
>>26
まずは、ageるな。
ageると、￥が荒らしに来るから。
28: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水) 13:00:59.24 ID:A63zUC8I(1)調 AAS
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29: 2017/06/28(水) 13:01:24.59 ID:qKgfuKoo(1/3)調 AAS
>>26
成り立つことの証明は
分からない問題はここに書いてね428
の>116に書いてあるよ。
30(1): 2017/06/28(水) 13:05:44.13 ID:qKgfuKoo(2/3)調 AAS
>>26
B＝2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j)
から各積 a_i・a_j 1≦i＜j≦n を取り出すときは
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分から取るという話ね。
31: 2017/06/28(水) 13:08:44.44 ID:qKgfuKoo(3/3)調 AAS
>>26
>>30の訂正：
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分 → B の Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分
32: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:28:16.02 ID:0RPSduFk(1/12)調 AAS
￥
33: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:28:36.96 ID:0RPSduFk(2/12)調 AAS
￥
34: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:28:54.59 ID:0RPSduFk(3/12)調 AAS
￥
35: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:29:13.06 ID:0RPSduFk(4/12)調 AAS
￥
36: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:29:30.40 ID:0RPSduFk(5/12)調 AAS
￥
37: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:29:50.37 ID:0RPSduFk(6/12)調 AAS
￥
38: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:30:08.19 ID:0RPSduFk(7/12)調 AAS
￥
39: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:30:25.08 ID:0RPSduFk(8/12)調 AAS
￥
40: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:30:46.51 ID:0RPSduFk(9/12)調 AAS
￥
41: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 01:31:03.96 ID:0RPSduFk(10/12)調 AAS
￥
42(2): 2017/06/29(木) 11:27:16.00 ID:W3RXb80R(1)調 AAS
〔問題216〕
実数a〜dについて
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
43: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 11:34:45.71 ID:0RPSduFk(11/12)調 AAS
￥
44: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木) 13:26:08.45 ID:0RPSduFk(12/12)調 AAS
￥
45: 2017/06/29(木) 14:31:35.06 ID:6Aq4M2nP(1)調 AAS
わざわざほかのスレに貼るのやめろよ
46: 2017/06/29(木) 17:22:36.67 ID:VBt2ub+o(1)調 AAS
うむ、他スレで見かけた不等式を収集するのは別だが。
47(6): 2017/06/30(金) 18:19:38.24 ID:g/dkToLH(1/2)調 AAS
>>42
左辺が ｐｐ+ｐｑ+ｑｑ の形になるのは、アイゼンシュタイン整数Ｚ[ω］のノルムみたいなもの？
ナゴヤ△と関係あるの賀茂鴨
48(4): 2017/06/30(金) 18:39:42.49 ID:g/dkToLH(2/2)調 AAS
>>47
z1 = a - cω,
z2 = d - bω （a〜d∈Ｚ）
をアイゼンシュタイン整数とすると、
z1･z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω,
49(3): 2017/07/04(火) 01:40:04.06 ID:Wi3Yphfr(1)調 AAS
>>47
ナゴヤ△ ＝ ノルムが平方数であるアイゼンシュタイン整数
50(2): 2017/07/06(木) 11:31:49.04 ID:TXO3PlHQ(1)調 AAS
>>47-49
ナゴヤ△は、乗法について閉じている。
51(1): 2017/07/06(木) 20:49:24.79 ID:nv6IrYms(1)調 AAS
実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、
(x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。
52(1): 2017/07/07(金) 01:47:29.44 ID:aKMbWmCY(1)調 AAS
>>51
右：
y は x、z の中間にある、とする。
y を x、z の中間で動かすとき、
|x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2,
∴y=(x+z)/2（等間隔）のとき最大で
(与式）≦（1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2,
等号成立は（x,y,z）=（±1/√2, 0, 干1/√2）
53(1): 2017/07/07(金) 16:59:21.21 ID:A1/MZg5M(1)調 AAS
B.4599
Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2.
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ？ うまく見つけられなかった。
-1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2
いい証明方法ない蟹？
54(1): 2017/07/08(土) 03:52:44.12 ID:E7CWjLAg(1/4)調 AAS
>>53
sin(x) + cos(x) = y とおく。
1 - sin(x)^5 - cos(x)^5
= (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
= (1/4) (1-y)^2 F(y)
≧0,
F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0,
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
≧ 0,
F(-y) = 4-3y+2yy-y^3 ≧ F(√2) = 8 - 5√2 > 0,
を使うとか。
55: 2017/07/08(土) 12:59:39.37 ID:E7CWjLAg(2/4)調 AAS
>>54
補足
F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2}
≧ F(-√2)
= 8 -5√2,
訂正
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(−sin(x)−cos(x))
= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
≧ 0,
56: 2017/07/08(土) 13:38:17.62 ID:E7CWjLAg(3/4)調 AAS
>>47-50
7 =｜5＋8ω｜=｜5ω＋8｜ … ナゴヤ
ただし、1+ω+ω^2 =0.
>>52
(x,y,z) は単位球面上の点。
x,zを止めてyだけ動かすのは無理
57: 2017/07/08(土) 18:05:35.83 ID:E7CWjLAg(4/4)調 AAS
>>47-50
｜a - bω| = c,
aa+ab+bb = cc,
とする。
ピタゴラス数との類推により
a = mm-nn,
b = (2m+n)n,
c = mm+mn+nn,
と表わせる。
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.geocities.jp
外部ﾘﾝｸ[php]:akademeia.infoアイゼンシュタイン三角形
外部ﾘﾝｸ[html]:ameblo.jp
58: 2017/07/09(日) 17:40:44.04 ID:hraGPmBR(1)調 AAS
〔Golden-Thompsonの不等式〕
A、Bがエルミート行列のとき、
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)｝
S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965)
数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社（1978）No.96
No.96
59: 2017/07/10(月) 03:41:28.14 ID:pArAdsTp(1)調 AAS
>>956 (3)
｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）≒ ｅ^(1/e + 4/x + …)
Lim[x→∞］｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）= ｅ^(1/e）= 1.444667861
60(1): 2017/07/12(水) 23:08:45.38 ID:4DpnFpJn(1)調 AA×
61(1): 2017/07/13(木) 00:13:50.12 ID:aYclV8OY(1/9)調 AAS
Ono Inequality
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
62(2): 2017/07/13(木) 00:58:04.61 ID:oVTfqBd/(1/6)調 AAS
>>60
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgピコーンの等式
>>61
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgオノの不等式
63(1): 2017/07/13(木) 01:04:00.92 ID:aYclV8OY(2/9)調 AAS
>>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。
T.オノって何者だ？
64: 2017/07/13(木) 01:06:35.77 ID:aYclV8OY(3/9)調 AAS
Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2
65(1): 2017/07/13(木) 01:19:17.26 ID:aYclV8OY(4/9)調 AAS
不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
（つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…）
実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2
さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？
66(2): 2017/07/13(木) 01:22:59.99 ID:aYclV8OY(5/9)調 AA×
67: 2017/07/13(木) 03:52:28.15 ID:oVTfqBd/(2/6)調 AAS
>>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.
(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2
=［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦［c^2 - (a-b)^2］^2 (←鋭角)
=［(b+c-a)(c+a-b)］^2,
循環的に掛けて平方根。
(中)
相加-相乗平均より
a+b+c ≧ 3｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝^(1/3),
s ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(1/3),
S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) (←ヘロンの公式）
≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(4/3),
∴｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3,
(右)
S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4,
∴（4S/√3)^3 ≦（2s/3)^6.
68: 2017/07/13(木) 04:08:19.11 ID:oVTfqBd/(3/6)調 AAS
>>66 上
a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）
* Ravi変換とかいうらしい。
69(9): 2017/07/13(木) 05:10:22.83 ID:aYclV8OY(6/9)調 AAS
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1
(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
<〇√
‖
くく
関係ないが、27って よく出てくるよな。
[第6章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3)
[第5章.560]
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},
[第5章.573]
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO]
[第5章.667]
正の数a、b、c、dに対して
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2
[第2章.144]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO]
70(4): 2017/07/13(木) 05:12:12.43 ID:aYclV8OY(7/9)調 AAS
>>69の訂正
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2
71(3): 2017/07/13(木) 07:03:58.21 ID:aYclV8OY(8/9)調 AAS
(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24
72(4): 2017/07/13(木) 10:54:34.52 ID:aYclV8OY(9/9)調 AAS
B.3989
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.
A.422、B3987 にも不等式があるね。
73(1): 2017/07/13(木) 17:42:43.45 ID:oVTfqBd/(4/6)調 AAS
>>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。
x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,
x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,
>>72
B.3987
中の b+c に注目する。
（a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad
≧（b+c){(a+b)＋(c+d)}
≧ 2｛√(a+b)｝（b+c）｛√(c+d)},
循環的に掛ける。
B.3989
a=2cos(A)，b=2cos(B)，c=2cos(C) とおく。A+B+C=π
cos(x）は下に凸だから
a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)｝≦ 6cos((A+B+C)/3）= 6cos(π/3) = 3,
ご参考
外部ﾘﾝｸ:ameblo.jp
74: 2017/07/13(木) 17:54:31.64 ID:oVTfqBd/(5/6)調 AAS
>>73 訂正
B.3989
cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。
(別解)
a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様
75: 2017/07/13(木) 18:37:29.12 ID:oVTfqBd/(6/6)調 AAS
>>72
A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
= n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
≦ n (SS - SS/n)}
= (n-1) SS,
(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
= S (n S - S)
= (n-1) SS,
76(2): 2017/07/14(金) 01:59:14.12 ID:54s0BI7v(1/6)調 AAS
>>72
A.422
(左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ)
= S・(n-1)S
でもいいか...
〔B.3987.改〕
n個の正数｛a,b,c, …,z｝がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものを Ｐ_k とおく。
Ｐ_1 = abcd…z,
Ｐ_2 =（a+b)(b+c)(c+d)……(z+a),
Ｐ_3 = (a+b+c)(b+c+d)……(z+a+b),
Ｐ_4 = (a+b+c+d)(b+c+d+e)……(z+a+b+c),
このとき、
(Ｐ_k)^2 ≧ Ｐ_{k-1}・Ｐ_{k+1},
Ｐ_{mn} ≧ (m^n)Ｐ_n,
を示せ。
77(6): 2017/07/14(金) 02:41:47.40 ID:5qutPAyo(1)調 AAS
>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3
(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
と書いている者もいる。証明は未確認。
民明書房刊 「不等式ヲタの異常な蒐集癖、または私は如何にして心配するのを止めて不等式を愛するようになったか」より
(1) 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
(2) USAMO 2001 外部ﾘﾝｸ[php]:artofproblemsolving.com
(3) >>72 B.3989 外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
(4) 外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
(5) 外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
78: 2017/07/14(金) 04:47:25.52 ID:54s0BI7v(2/6)調 AAS
>>77
(3) はイランMO-2002、A16 かな？
Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL
「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005）
79(1): 2017/07/14(金) 04:54:42.20 ID:54s0BI7v(3/6)調 AAS
>>76
〔B.3987.改〕
k≦L のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1}
80: 2017/07/14(金) 10:25:53.58 ID:54s0BI7v(4/6)調 AAS
>>66 下
a+b-c=z，b+c-a=x，c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,
log（左辺）= a log(z）+ b log(x）+ c log(y)
= (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
≦ y log(a) + z log(b) + x log(c)
≦ a log(a) + b log(b) + c log(c) （←チェビシェフ）
= log（右辺）,
81: 2017/07/14(金) 13:02:23.89 ID:54s0BI7v(5/6)調 AAS
>>69
[第5章.667]
a+b+c+d = s，ab+ac+ad+bc+bd+cd = t，abc+abd+acd+bcd = u とおく。
2tt - (9/2)su =（ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
2st - 12u =（a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ 2t^3 ≧ 27uu,
82: 2017/07/14(金) 18:29:25.42 ID:54s0BI7v(6/6)調 AAS
〔B.3987.改〕の略証を
>>76
a_2 + a_3 + … + a_k = s とおく。
(a_1+a_2+…+a_k)(a2+a3+…+a(k+1)) = (a_1 + s)(s + a_(k+1)) > s{a_1 + s + a_(k+1)}
巡回的に掛ける。
>>79
k=L のときは >>76
k<L のときも
{Ｐ_k Ｐ_L}/{Ｐ_(k-1) Ｐ_(L+1)｝=｛(Ｐ_k)^2/Ｐ_(k-1)Ｐ_(k+1)}×{(Ｐ_(k+1))^2/Ｐ_k Ｐ_(k+2)}×
…… ×{(Ｐ_L)^2/Ｐ_(L-1)Ｐ_(L+1)} > 1,
83: 2017/07/15(土) 03:33:48.86 ID:jZ3tY0g5(1/3)調 AAS
>>69
[第2章.144]
0 ≦ a ≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3 - 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧0,
等号成立は (a,b,c) = (0,2/3,1/3) とその rotation
カナダMO-1995 A.5
安藤哲哉：「不等式」数学書房（2012) 例題2.2.12(7)
84(1): 2017/07/15(土) 03:52:45.75 ID:jZ3tY0g5(2/3)調 AAS
>>69
[第6章.908]
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
st = (aaa+bbb+ccc)＋(abb+bcc+caa)＋(aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
pq = T+uS+3uu ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
∴ S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3) ≧ 3√(3Su),
ここに、S=aaa+bbb+ccc、T=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3、U=(abc)^3.
Casphy!-不等式2-177
85: 2017/07/15(土) 04:39:34.33 ID:yYh8jteX(1/2)調 AAS
そういえば、数蝉2017.08のエレガント第２問が、関数の最大最小値問題だったね。締切まで答えは書けないけど。
86: 2017/07/15(土) 07:59:24.12 ID:OkWeDr+1(1)調 AAS
学コンの答えを締切前に発表したら刑事事件に発展するの？
業務妨害？
87: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 08:12:09.69 ID:qAOI4WFY(1/23)調 AAS
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
￥
88: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:04:11.35 ID:qAOI4WFY(2/23)調 AAS
￥
89: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:04:30.33 ID:qAOI4WFY(3/23)調 AAS
￥
90: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:04:51.82 ID:qAOI4WFY(4/23)調 AAS
￥
91: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:05:10.79 ID:qAOI4WFY(5/23)調 AAS
￥
92: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:05:28.41 ID:qAOI4WFY(6/23)調 AAS
￥
93: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:05:46.60 ID:qAOI4WFY(7/23)調 AAS
￥
94: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:06:04.47 ID:qAOI4WFY(8/23)調 AAS
￥
95: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:06:28.55 ID:qAOI4WFY(9/23)調 AAS
￥
96: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:06:47.28 ID:qAOI4WFY(10/23)調 AAS
￥
97: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:07:05.64 ID:qAOI4WFY(11/23)調 AAS
￥
98: 2017/07/15(土) 09:30:51.82 ID:yYh8jteX(2/2)調 AAS
学コン厨がage荒らしをして、￥が荒らす。
面白スレや数セミスレでもよく見かける数学板の風物詩。
99: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:53:34.66 ID:qAOI4WFY(12/23)調 AAS
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
￥
100: 2017/07/15(土) 14:30:48.60 ID:jZ3tY0g5(3/3)調 AAS
>>84 の訂正...
(a+b+c)(aa+bb+cc) = (aaa+bbb+ccc) + (abb+bcc+caa) + (aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
101: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 15:08:09.64 ID:qAOI4WFY(13/23)調 AAS
◆◆◆馬鹿板をスルと脳が馬鹿汁漬けになってアホになります。そやし止めるべき。◆◆◆
￥
102: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:44:30.05 ID:qAOI4WFY(14/23)調 AAS
￥
103: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:44:49.86 ID:qAOI4WFY(15/23)調 AAS
￥
104: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:45:08.73 ID:qAOI4WFY(16/23)調 AAS
￥
105: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:45:26.58 ID:qAOI4WFY(17/23)調 AAS
￥
106: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:45:44.83 ID:qAOI4WFY(18/23)調 AAS
￥
107: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:46:03.06 ID:qAOI4WFY(19/23)調 AAS
￥
108: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:46:20.52 ID:qAOI4WFY(20/23)調 AAS
￥
109: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:46:47.66 ID:qAOI4WFY(21/23)調 AAS
￥
110: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:47:07.88 ID:qAOI4WFY(22/23)調 AAS
￥
111: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:47:25.53 ID:qAOI4WFY(23/23)調 AAS
￥
112(1): 2017/07/16(日) 08:39:47.83 ID:v1J8xk3o(1)調 AAS
>>70 (2)
s = st/9 + 2s/3 ≧ u + 2√(t/3) = u + 2,
113: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/16(日) 09:31:15.72 ID:lJ3jPa7S(1/2)調 AAS
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇
￥
114(1): 2017/07/16(日) 10:49:30.65 ID:kYKIO7xV(1/10)調 AA×
>>0
115: 2017/07/16(日) 10:54:46.47 ID:kYKIO7xV(2/10)調 AAS
>>114
ごめん、>>71と同じ問題だった。
116(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/16(日) 11:10:58.67 ID:lJ3jPa7S(2/2)調 AAS
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇
￥
117: 2017/07/16(日) 11:20:30.34 ID:kYKIO7xV(3/10)調 AAS
>>70 (2)
解答 >>112
参考 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
118(2): 2017/07/16(日) 11:36:46.53 ID:kYKIO7xV(4/10)調 AAS
>>77 追加
a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、
(6) (a+b)^(1/2) + (b+c)^(1/3) + (c+a)^(1/4) < 4
(7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
(6) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
(7) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
119: 2017/07/16(日) 11:38:50.17 ID:kYKIO7xV(5/10)調 AAS
(A) a,b,c>0 の AM,GM,HMをA,G,Hで表すとき、A+H ≧5*(G/6)^(1/3)
(B) a,b,c>0、a+b+c=3 のとき、a^(ab)b + b^(bc)c + c^(ca)a ≧ 5^(1/6)
(A) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
(B) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
120: 2017/07/16(日) 11:45:07.73 ID:kYKIO7xV(6/10)調 AAS
条件不等式のデータベースを作りたいね。
たとえば、上のような a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 かつ a,b,c>0 のときに成り立つ不等式がいろいろあるけど、
条件を代入して検索したら、それをみたす不等式がずらーっと出てくるような。
121: 2017/07/16(日) 11:51:59.39 ID:kYKIO7xV(7/10)調 AAS
>>118
(誤) (7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
(正) (7) 4(ab+bc+ca-abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
122: 2017/07/16(日) 12:54:40.01 ID:kYKIO7xV(8/10)調 AAS
>>70
結局、a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=3 のとき、a+b+c≧3 と 1≧abc が成立し、それをコッソリ使っていたのか…。
a+b+c ≧ 3 ≧ 2+abc
種明かしされると何でもないけど、a+b+c≧2+abc をパッと見たとき、次数を合わせるために、
左辺と右辺の第１項に ab+bc+ca、右辺第2項に 3 を掛けてみて…、ずっと悩んでいた。
123(1): 2017/07/16(日) 13:44:04.69 ID:kYKIO7xV(9/10)調 AAS
>>70 の別解。
c = (3-ab)/(a+b) より、
(左辺)-(右辺) = [(ab-1)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2}/(a+b) ≧ 0.
124: 2017/07/16(日) 13:46:47.29 ID:kYKIO7xV(10/10)調 AAS
>>123
対称性を崩したくないのと、計算が面倒そうで、一文字消去は考えもしなかった。
125: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:52:16.95 ID:PMZXT70X(1/26)調 AAS
￥
126: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:52:36.95 ID:PMZXT70X(2/26)調 AAS
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127: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:52:56.33 ID:PMZXT70X(3/26)調 AAS
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