[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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460: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 20:55:11.59 ID:WvFggA1P(29/35)調 AAS
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461: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 20:55:27.64 ID:WvFggA1P(30/35)調 AAS
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462: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 20:55:43.65 ID:WvFggA1P(31/35)調 AAS
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463: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 20:56:02.57 ID:WvFggA1P(32/35)調 AAS
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464: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 20:56:18.87 ID:WvFggA1P(33/35)調 AAS
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465: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 20:56:35.47 ID:WvFggA1P(34/35)調 AAS
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466: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 20:56:51.47 ID:WvFggA1P(35/35)調 AAS
￥
467(8): 2017/08/09(水) 22:45:59.22 ID:A2I5YGTu(8/10)調 AA×
468(1): 2017/08/09(水) 22:47:06.98 ID:A2I5YGTu(9/10)調 AAS
>>467
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
（証明１）
ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明２）
面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明３）
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。
（証明４）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。
（証明５）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。
（証明６）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。
（証明７）
証明６の不等式を三角関数で証明。
（証明８）
座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。
---------------------------------------------------------------------
[1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、
証明１と証明２は全く同じものである。証明６と証明７も一緒。つまり６通りの証明ですな。
[2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
[3] 他に証明は無いのかな。証明３と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。
ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。
|0 1 1 1 |
|1 0 a^2 b^2|
|1 a^2 0 c^2|
|1 b^2 c^2 0 |
469(2): 2017/08/09(水) 22:48:59.09 ID:DWUU74oj(2/2)調 AAS
>>388
>>456
相当な量の改良問題があった
for reals
[1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
[2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
for nonnegarives
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
[4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
[5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
AOPS
[1], [2] : c6h588096p3481394
[3] : c6h4830p15309
[4], [5] : c6h581954p3438879
他にもいろいろ
470: 2017/08/09(水) 22:51:59.96 ID:A2I5YGTu(10/10)調 AAS
>>469
ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜─ !! 素晴らしい！
471(1): 2017/08/10(木) 00:03:36.94 ID:ZcMNVdrv(1/6)調 AAS
[出典不明]
実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。
こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
472: 2017/08/10(木) 01:44:43.71 ID:DPXWgKrx(1/4)調 AAS
>>471
xz≦0 のときは明らか。
xz>0 のとき
4{bbyy -（ax)(cz)｝≧（2by)^2 -（ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz）= 0,
∴ yy ≧（ac/bb）xz ≧ xz,
473: 2017/08/10(木) 02:37:02.72 ID:DPXWgKrx(2/4)調 AAS
>>467
(2)
△の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。
△の各辺の中点を通る円を考える。
この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。
R/2 ≧ r
（清水多門氏による）
文献[3]、p.7-8 例題4 >>2
474: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:40:57.40 ID:JHmEReZW(1/44)調 AAS
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475: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:41:14.29 ID:JHmEReZW(2/44)調 AAS
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476: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:41:29.35 ID:JHmEReZW(3/44)調 AAS
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477: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:41:43.79 ID:JHmEReZW(4/44)調 AAS
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478: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:41:59.14 ID:JHmEReZW(5/44)調 AAS
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479: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:42:15.31 ID:JHmEReZW(6/44)調 AAS
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480: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:42:31.29 ID:JHmEReZW(7/44)調 AAS
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481: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:42:46.34 ID:JHmEReZW(8/44)調 AAS
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482: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:43:01.62 ID:JHmEReZW(9/44)調 AAS
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483: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:43:27.08 ID:JHmEReZW(10/44)調 AAS
￥
484(1): 2017/08/10(木) 02:47:00.98 ID:ZcMNVdrv(2/6)調 AA×
>>414
485: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 02:48:50.76 ID:JHmEReZW(11/44)調 AAS
￥
486: 2017/08/10(木) 02:58:19.02 ID:DPXWgKrx(3/4)調 AAS
>>449 (4)
チェビシェフにより
（左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝
=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
≧(s+t)/(1+s+t+u),
≧ 3/4,
∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6,
487(1): 2017/08/10(木) 03:13:12.22 ID:ZcMNVdrv(3/6)調 AA×
>>414
488: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 03:24:41.98 ID:JHmEReZW(12/44)調 AAS
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489: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:28:58.93 ID:JHmEReZW(13/44)調 AAS
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490: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:29:18.97 ID:JHmEReZW(14/44)調 AAS
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491: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:29:39.28 ID:JHmEReZW(15/44)調 AAS
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492: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:29:58.06 ID:JHmEReZW(16/44)調 AAS
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493: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:30:15.68 ID:JHmEReZW(17/44)調 AAS
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494: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:30:33.84 ID:JHmEReZW(18/44)調 AAS
￥
495: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:30:52.28 ID:JHmEReZW(19/44)調 AAS
￥
496: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:31:12.03 ID:JHmEReZW(20/44)調 AAS
￥
497: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 04:31:44.62 ID:JHmEReZW(21/44)調 AAS
￥
498: 2017/08/10(木) 12:38:29.31 ID:60raC5j+(1)調 AAS
>>452
(7) n>=3
a^2+b^2+c^2 と b/a+c/b+a/c の大小は定まらない
(8) Schur + AMGM
499: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 13:07:16.05 ID:JHmEReZW(22/44)調 AAS
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500: 2017/08/10(木) 13:59:34.75 ID:DPXWgKrx(4/4)調 AAS
>>484
a=-(b+c+d）を代入して
aa = (-b-c-d)^2 ≦ 3(bb+cc+dd）= 3(100-aa）,
aa ≦ 75,
|a| ≦ 5√3,
>>487
(a+c)(b+d）= -(a+c)^2 = -(b+d)^2 ≧ -(aa+cc) -(bb+dd) = -100,
-100 ≦ (a+c)(b+d）≦ 0,
等号成立は（a,b,c,d）=（5,-5,5,-5）（5,5,-5,-5）など。
501: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:01:44.06 ID:JHmEReZW(23/44)調 AAS
￥
502: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:02:00.82 ID:JHmEReZW(24/44)調 AAS
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503: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:02:17.86 ID:JHmEReZW(25/44)調 AAS
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504: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:02:35.54 ID:JHmEReZW(26/44)調 AAS
￥
505: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:02:52.13 ID:JHmEReZW(27/44)調 AAS
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506: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:03:08.83 ID:JHmEReZW(28/44)調 AAS
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507: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:03:25.66 ID:JHmEReZW(29/44)調 AAS
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508: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:03:43.60 ID:JHmEReZW(30/44)調 AAS
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509: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:04:00.80 ID:JHmEReZW(31/44)調 AAS
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510: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 15:04:17.63 ID:JHmEReZW(32/44)調 AAS
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511: 2017/08/10(木) 20:36:16.33 ID:ZcMNVdrv(4/6)調 AAS
>>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
512: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 21:00:27.34 ID:JHmEReZW(33/44)調 AAS
￥
513: 2017/08/10(木) 21:41:35.40 ID:ZcMNVdrv(5/6)調 AAS
Crux
外部ﾘﾝｸ:cms.math.ca
いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
外部ﾘﾝｸ:cms.math.ca
Problems
3690、3691、3694、3699
514: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 21:57:11.66 ID:JHmEReZW(34/44)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥
515(2): 2017/08/10(木) 21:57:26.65 ID:ZcMNVdrv(6/6)調 AAS
>>389
これでござるな。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.kindai.ac.jp
516: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:48:50.83 ID:JHmEReZW(35/44)調 AAS
￥
517: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:49:09.40 ID:JHmEReZW(36/44)調 AAS
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518: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:49:27.64 ID:JHmEReZW(37/44)調 AAS
￥
519: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:49:45.64 ID:JHmEReZW(38/44)調 AAS
￥
520: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:03.51 ID:JHmEReZW(39/44)調 AAS
￥
521: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:22.17 ID:JHmEReZW(40/44)調 AAS
￥
522: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:41.02 ID:JHmEReZW(41/44)調 AAS
￥
523: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:50:57.38 ID:JHmEReZW(42/44)調 AAS
￥
524: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:51:13.83 ID:JHmEReZW(43/44)調 AAS
￥
525: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/10(木) 23:51:31.07 ID:JHmEReZW(44/44)調 AAS
￥
526: 2017/08/11(金) 00:32:25.04 ID:UlqqGaeP(1)調 AAS
ネタギレだな
興奮する問題が無い
527: 2017/08/11(金) 00:46:30.31 ID:VAqorbPb(1)調 AAS
(俺の経験人数)＞Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ
528: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 00:58:40.57 ID:ToUPXODc(1/33)調 AAS
♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪
ケケケ￥
529: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:12:48.74 ID:ToUPXODc(2/33)調 AAS
￥
530: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:04.97 ID:ToUPXODc(3/33)調 AAS
￥
531: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:20.84 ID:ToUPXODc(4/33)調 AAS
￥
532: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:36.78 ID:ToUPXODc(5/33)調 AAS
￥
533: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:13:51.86 ID:ToUPXODc(6/33)調 AAS
￥
534: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:08.31 ID:ToUPXODc(7/33)調 AAS
￥
535: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:24.27 ID:ToUPXODc(8/33)調 AAS
￥
536: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:39.62 ID:ToUPXODc(9/33)調 AAS
￥
537: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:14:55.88 ID:ToUPXODc(10/33)調 AAS
￥
538: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 06:15:11.17 ID:ToUPXODc(11/33)調 AAS
￥
539(3): 2017/08/11(金) 12:57:10.89 ID:OXujv9yn(1/2)調 AAS
>>467 (1）を改造...
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.
(証明３)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=（1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC} （← AM-GM)
=（4√3)S,
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S.
(証明６)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2
= AB+BC+CA
≧ √{3(A+B+C)ABC}
=（4√3)S,
540: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 12:59:40.46 ID:ToUPXODc(12/33)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥
541(2): 2017/08/11(金) 16:26:36.35 ID:XzY0B0Bq(1/4)調 AA×
>>0
542(1): 2017/08/11(金) 16:46:26.28 ID:XzY0B0Bq(2/4)調 AA×
>>467>>539
543(2): 2017/08/11(金) 17:08:13.18 ID:XzY0B0Bq(3/4)調 AA×
>>467>>539>>542>>542
外部ﾘﾝｸ[html]:forumgeom.fau.edu
544(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:28:47.81 ID:ToUPXODc(13/33)調 AAS
￥
545: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:04.30 ID:ToUPXODc(14/33)調 AAS
￥
546: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:20.83 ID:ToUPXODc(15/33)調 AAS
￥
547: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:36.61 ID:ToUPXODc(16/33)調 AAS
￥
548: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:29:52.50 ID:ToUPXODc(17/33)調 AAS
￥
549: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:30:07.38 ID:ToUPXODc(18/33)調 AAS
￥
550: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:30:22.15 ID:ToUPXODc(19/33)調 AAS
￥
551: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:30:56.58 ID:ToUPXODc(20/33)調 AAS
￥
552: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:31:12.23 ID:ToUPXODc(21/33)調 AAS
￥
553: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 17:31:29.05 ID:ToUPXODc(22/33)調 AAS
￥
554(2): 2017/08/11(金) 18:20:48.72 ID:OXujv9yn(2/2)調 AAS
>>467 (1）>>539 を再改造…
>>541
(2)
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。
(左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2,
(3)
ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c,
IMO-1996 予選
文献[9］佐藤、演習問題1.15
>>543
abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9,
∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA
>>539 により成立。
きりがないでござるよ…
555: 2017/08/11(金) 18:50:48.93 ID:XzY0B0Bq(4/4)調 AA×
>>554
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
556: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:51:33.31 ID:ToUPXODc(23/33)調 AAS
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557: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:51:49.80 ID:ToUPXODc(24/33)調 AAS
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558: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:52:21.89 ID:ToUPXODc(25/33)調 AAS
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559: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:52:37.32 ID:ToUPXODc(26/33)調 AAS
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560: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:52:54.05 ID:ToUPXODc(27/33)調 AAS
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561: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:10.75 ID:ToUPXODc(28/33)調 AAS
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562: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:26.68 ID:ToUPXODc(29/33)調 AAS
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563: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:42.49 ID:ToUPXODc(30/33)調 AAS
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564: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:53:58.68 ID:ToUPXODc(31/33)調 AAS
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565: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:54:14.33 ID:ToUPXODc(32/33)調 AAS
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566: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/11(金) 19:54:30.09 ID:ToUPXODc(33/33)調 AAS
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567: 2017/08/12(土) 00:51:27.72 ID:WPvdvXKS(1)調 AAS
なんかこのスレきもいな
ただのキモオタじゃん
568(1): 2017/08/12(土) 00:51:30.41 ID:rvCA1oPA(1/3)調 AAS
>>389 >>515
△ABC における重心座標を考える。
↑D = L･↑A + m･↑B + n･↑C， L+m+n=1,
（v，w）=（(Lp+mr+nt)/(L+m+n)，(Lq+ms+nu)/(L+m+n))
（Dが△ABCの内部または周上） ⇔ 0 ≦ L,m,n
∴ AM-GM により
x^v･y^w ≦｛L(x^p)(y^q) + m(x^r)(y^s) + n(x^t)(y^u)}/(L+m+n)
≦ (x^p)(y^q) + (x^r)(y^s) + (x^t)(y^u),
（Dが△ABCの外部） ⇔ min{L,m,n｝<0
さて、どうする？
569: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:20:34.22 ID:Ay3s6hqd(1/10)調 AAS
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570: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:20:51.86 ID:Ay3s6hqd(2/10)調 AAS
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571: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:21:10.10 ID:Ay3s6hqd(3/10)調 AAS
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572: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:21:27.14 ID:Ay3s6hqd(4/10)調 AAS
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573: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:21:45.38 ID:Ay3s6hqd(5/10)調 AAS
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574: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:05.22 ID:Ay3s6hqd(6/10)調 AAS
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575: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:22.90 ID:Ay3s6hqd(7/10)調 AAS
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576: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:39.56 ID:Ay3s6hqd(8/10)調 AAS
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577: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:22:57.04 ID:Ay3s6hqd(9/10)調 AAS
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578: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/12(土) 02:23:15.89 ID:Ay3s6hqd(10/10)調 AAS
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579(1): 2017/08/12(土) 03:30:21.66 ID:hiSFFC3j(1)調 AAS
不等式ではなくって、等式なんだけど、
>>467の本 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』
を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。
Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ？
あと、名前の付いた等式を一つ。（只の式変形で出るので面白くはないが…）
ヒルツェブルフの等式 ： x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x
580: 2017/08/12(土) 11:28:19.55 ID:rvCA1oPA(2/3)調 AAS
>>388 (4)
(i) >>432
(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =｜OA|･cosθ，etc.
２平面 OAH と OBH のなす角（二面角）を ∠AHB = φとおく。
cos(∠AOB）=（OA・OB)/|OA||OB｜=（cosθ)^2 +（sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴ ∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。
581: 2017/08/12(土) 12:31:19.72 ID:rvCA1oPA(3/3)調 AAS
>>579
0
L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3
582: 2017/08/13(日) 16:43:33.64 ID:/or+kDcE(1)調 AAS
>>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
= -2 -（x+y+z） +xyz,
= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
≧ 0,
583(4): 2017/08/14(月) 03:30:28.48 ID:DhVyRLdl(1/2)調 AAS
>>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2
≧0, （← s≧3、t≧3、u=1）
584(3): 2017/08/14(月) 14:19:59.12 ID:2wTFMFcz(1/2)調 AA×
>>543-544>>544
585(2): 2017/08/14(月) 16:40:29.61 ID:2wTFMFcz(2/2)調 AAS
数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。
586(1): 2017/08/14(月) 21:52:11.78 ID:DhVyRLdl(2/2)調 AAS
>>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
左辺に 1+abc を掛ける。
(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc.
巡回的に AM-GM すると
（1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G)
= 3(1-G+GG)/G
= 3(1+GGG)/{G(1+G)}．
∴ (左辺）≧ 3/{G(1+G)},
ここに G=(abc)^(1/3)
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