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1(5): 2006/01/02(月) 01:30:55 AAS
1≠0.999…であることを認めたくない人たちのスレです。
前スレ:1=0.999… その9.999…
2chｽﾚ:math
6(4): 2006/01/02(月) 01:40:55 AAS
994 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 01:29:17
>>992
「そう」とは?
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
という意味不明な主張をし、それを数学と言い張り、
人一人にそれを理解してもらう事も出来ないという状況の事?
997 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/02(月) 01:31:40
>>994
そうその通り。
そう思いたきゃ、そう思ってて下さいってこと。
-------
って事は
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
ってのは、その人がそう思うかどうかって事だよね。
9(7): 2006/01/02(月) 01:44:37 AAS
小数の定義
「aを整数、a_1, a_2, ...を0, ..., 9のいずれかとする時、無限級数
a + a_1 / 10 + a_2 / 10^2 + …
の値(それは収束する)の事を
a. a_1 a_2 …
と書く」
についても、採用するかどうかとか「真実」であるかどうかなんてのは、
信念とか多数決とか、極めて数学的でない事によってのみ決められる事だよね。
13(5): 2006/01/02(月) 01:50:30 AAS
>>11
同意はしないが、そう思いたい気持ちは理解できる。
32(3): 2006/01/02(月) 02:18:18 AAS
>>30
論理のすり替え。
数学用語を使わない話でも数学の話になりうると言ったのに、
「他人に通じない話が数学の話なんですか」と言われてもね。
後段もそう。
分かる気がないとしか、言いようがないね。
37(4): 2006/01/02(月) 02:25:17 AAS
>>32
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
は>>32の主張であり、また他人にその意味が伝わっていない。
即ち
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
は>>32にしか分からない>>32の主張である。
一方自分にしか分からない事を事実として主張する人はトンデモである。
故に>>32はトンデモである。
この論法のどこに論理のすり替えがあるのですか?
あるいはトンデモとまでは言わなくとも、
「>>32にしか分からない話であって数学の話であるものが存在する」
ってのは一般に認められている事実ではない。
39(4): 2006/01/02(月) 02:31:18 AAS
>>37
まず
>「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
の部分は、引用の仕方がおかしい。
「真実」の言い換えとして「１００％依拠できる」という表現を
使ったのに対し、正確な言い換えができていないからわかりにくい。
次に
>「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
>は>>32にしか分からない>>32の主張である。
は>>37個人の主張であって、客観性に欠ける。
あと
>一方自分にしか分からない事を事実として主張する人はトンデモである。
これを認めると、ちょっと難しいことを言う人は全部トンデモになる。
>「>>32にしか分からない話であって数学の話であるものが存在する」
>ってのは一般に認められている事実ではない。
一般に認められるもなにも、一般に問を発していないので確かめようがない。
ここらへんかな、とりあえず。
45(4): 2006/01/02(月) 02:38:04 AAS
実数の公理は認めて良いってことでしょ。
そんなにむずかしいことではない。
53(4): 2006/01/02(月) 02:52:38 AAS
また>>39は、前スレ>>953で「１００％論理」だとか、同>>958で
> 定義がしっかり定義されていることを厳密に証明して、基礎をしっかり作る。
> でないと、理論が発展していかないんだよ。だってその定義が、理論の命綱になっていく
> んだから。
などと言っている。
とりあえずここまでのレスで「>>39の意図が(ある程度でも)理解できる」と言い、
それを説明した人は>>45=>>48の一人だけ。
その内容は「実数の公理は漠然と正しく感じる、という意味」と言って良いと思う。
で>>39の意図はこれと一致していますか?
>>51
ごめんね俺こういうの相手にするのが大好きなんだ。
60(4): 2006/01/02(月) 03:04:17 AAS
>>58,59
いやまあ、「正しい」以上にふさわしい言葉もないと思うから、
58のせいじゃあないと思うよ。たぶん、
「『正しい』といっても具体的に何を言っているのかよくわからない」
とか議論したいんでしょ？56は。
「1＝0.999・・・のほうが1≠0.999・・・よりも正しい、とは
どういう基準で言えるのか」
「1＝0.999・・・のほうが1≠0.999・・・よりも正しいのは
定義から導かれるからだ、というならその定義のほうを
（1≠0.999・・・を許すような定義でなくて）選ぶのは
どういう基準によるのか」
とかそういう疑問点を抱いているんじゃないの？
ということでメリット・デメリットの話と絡んでくると見た。
64(3): 2006/01/02(月) 03:10:23 AAS
>>60
そうだね。
更に言えば、実数の公理(として完備アルキメデス順序体)を採用する「基準」とは
信念、多数決、メリットなどの非論理的なものだろう。
然るに>>59は>>13で「>>6 >>9に同意しない」と言っている。
実数の公理を採用するかどうかは信念でも多数決でもないと。
加えて「１００％論理」とも言っている。
ならばその論理を説明して頂こうと思ったわけだ。
67(11): 60 2006/01/02(月) 03:17:33 AAS
えっと、補足で、>>61
> 逆に言えば、実数の定義と０．９９９・・・≠１は、両立しない。
そんなのは今議論してる人達はみんな知ってると思うけど、
でもそんなことを言ってるんじゃなくて、
「なんで実数の定義を受け入れるわけ？」
とかそういう次元の話をしてるんじゃないの？56は。
例えばさ、（今誰かがそう言ってるとかじゃないけど）
「なぜ実数をこれこれと定義するんですか」
→「それが正しい定義だからだよ」
「なぜ実数の定義が正しい実数の定義だと言えるんですか？」
→「定義に正しいかどうか言っても仕方ないよ、そのように
定義されるもののことを実数と呼ぶんだから」
っていう説明を同時に行うのは何かおかしいんだし、
少なくともどちらかは別の仕方で説明しなくちゃ
いけないよね？
81(8): 2006/01/02(月) 03:30:07 AAS
>>65
「多数決」とは、数学をするほとんどの人が実際に採用しているという事実。
また、実数の全体が順序体であるメリットは
四則算法や順序を用いた議論が自由に出来るという点。
(順序に関して)完備でアルキメデス的であるメリットは、
解析学の至る所で表れるCauchy列を収束列として扱い、
Cauchy列の収束先を用いて強力な議論を展開する事が出来るようになる事など。
>>68
引用元は前スレ>>953である、というのは前述>>53の通り。
>>69
その通り。
で、実数の公理を採用するかどうかは信念でも多数決でもない、という
>>13の主張を元に、実数の公理を採用する「論理」を聞きましょうか。
85(3): 67 2006/01/02(月) 03:33:36 AAS
>>82
俺と56＝64＝81とはそれなりに話がかみあってる気がするので
「根拠のな」くはないと思うけどなあ。
というわけで、>>81、どうなの？俺は君の議論したいことの
筋はだいたい追えてるのかな？
96(3): 2006/01/02(月) 04:12:11 AAS
>>94
> 「どこで」「いつ」「どのように」「どのような形で」採用されたんだ？
「いつの間にか」多くの人達、多くの数学書がこの定義を採用するようになった。
決定的な瞬間など無いだろう。
そして個々人にとって、この定義を採用した理由・メリットは、
「漠然とそれが自然に感じた」だとか「特に問題無さそうに思った」だとか
「疑問にさえ思わなかった」だとか、あるいは>>81などだろう。
こういった信念やメリット故に
実数の公理が多くの数学をする人達に採用されている。
>>94は違うと?
少数意見については(少数意見故に)多くは知らない。
超準解析はその少数意見の一つだろう。
あるいは理論の体を成していないものなら
外部ﾘﾝｸ:members2.tsukaeru.net
などのトンデモ達の「理論」。
105(5): 2006/01/02(月) 05:04:13 AAS
>>103-104
「実数の概念はこういうものである」というのは正に信念だな。
その信念に基づいて実数の公理が置かれている。
逆に言えばその信念を共有しない人(例えばogawa)にとっては
何ら説得力はない。
その信念には、多数の人が何となく支持するという以外の論理性は無い。
これを認めるという事ですか。
121(5): 2006/01/02(月) 12:37:00 AAS
>>111-113
概念に対する名前の付け方は、
その概念が当事者間で共有されている限り原理的に自由だな。
完備アルキメデス順序体という概念に「実数体」という名前を付けても
(Hilbertではないが)「椅子」という名前を付けても、
完備アルキメデス順序体を意味するという約束の下では同じ事。
従って、「0.999…」を見て、これを
「完備アルキメデス順序体におけるΣ9/10^nの事」
と思うかどうかは信念や決まり事以上のものではない。
例えば「0.999…」を、列
(9/10, 9/10+9/10^2, ...)
の超準実数体における同値類であるとするなら、
これは1(即ち(1, 1, ...)の同値類)とは異なる事がすぐ分かる。
信念や決まり事の共有されていない人の間では、
0.999…が人により1だったり1でなかったりする訳だ。
>>107で書いた「現在の実数の定義」とは完備アルキメデス順序体の事。
これは現在数学をする多くの人が「実数体」という単語の意味として採用している。
だがogawaを始めとするトンデモや「1≠0.999…」派のように採用していない人もいる。
「多くの人の共通認識」程度でしかない。
> あの人はこの実数の定義、この人はあの実数の定義という風に
正にそう考える他にない。
その下で>>105の最後の一行の質問にお答え頂きたい。
155(4): 2006/01/02(月) 13:58:49 AAS
(1) 単語「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体Rを採用し、
小数の定義として例えば「0.999…=Σ9/10^n」が成り立つものを採る。
(2) 単語「実数体」の定義として超準実数体R^*を採用し、
小数の定義として例えば「0.999…=[9/10, 9/10+9/10^2, ...]」が成り立つものを採る。
前者の定義の下では1=0.999…は正しい。
後者では1≠0.999…は正しい。
・両者は相反するだけで、どちらも独立に正しく機能する
・前者を採るのも後者を採るのも全くの自由
・事前に了解があれば、ケースバイケースでどちらかを採用する事で問題は生じない
・どちらが「実数の概念」に相応しいかは信念やメリットの問題で、証明できるものではない
・多数の人が受け容れるものが一般に流布し易い
・(1)での「実数体」は自然な性質を持っていると思う人もいれば、
(2)での「実数体」の方が自然だと思う人もいる
従って(1), (2)のどちらを選ぶかという基準には
信念、メリット、決まり事以上の論理は無い。
167(3): 2006/01/02(月) 14:20:13 AAS
>>163
逃げているな。「君」がなぜ普通の実数の定義を「実数の定義」と考えているのか
って聞いているのにねｗ まるで政治家の答弁だ。
177(10): 2006/01/02(月) 14:34:19 AAS
>>165
ならばどちらを前提とするかという判断基準は?
信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
>>166
[1, 2, ...]∈R^*はNの上界なので、Nは上に有界。
然るにNの任意の上界xについてx/2はxより真に小さいNの上界なので、
Nは上限を持たない。
故にR^*は連続性を満たさない。
181(7): 2006/01/02(月) 14:38:07 AA×
>>177
193(3): 2006/01/02(月) 14:56:05 AAS
>>191
与えられた定義は勝手に変えてはイカンよ。ｗ
220(3): 2006/01/02(月) 15:18:01 AAS
>>215
いつの間にか「多数決」を俺の考えに入れて下さったみたいで。
多数だろうと少数だろうと、正しいものが採用される。
>>216
メリットが多いからというからには、メリットを挙げられるんだろうな。
「普通当たり前とする」からには、例外的なものも是非挙げて下さい。
230(4): 2006/01/02(月) 15:29:39 AAS
>>220
>>177の
> ならば(>>155の)どちらを前提とするかという判断基準は?
> 信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
に対し>>181で
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
と答え、>>220で
> 多数だろうと少数だろうと、正しいものが採用される。
とも言っている。
すると「前提とすべきもの=正しいもの=高校までの基礎教養における前提」か。
だが実数の連続性は「高校までの基礎教養における前提」では無い。
高校数学までの実数概念はもっと漠然としたものだ。
従って実数の連続性は「正しいもの」や「前提とすべきもの」では無いという事になる。
あるいは高校数学での素朴な集合概念はRusselのパラドックスを導く。
>>220にとっての「正しいもの」の中には矛盾も含まれているという事か。
231(4): 2006/01/02(月) 15:32:45 AAS
>>230
たとえば平均の存在を保証しないと(x+y)/2とかできないんですが。
連続性を保証されてる定義でないと、矛盾しないか？
だから、大学生の解析学においてもε-δ論法がすんなり導入できるんだろ。
後段：
たしかに、矛盾するものもあるね。
238(3): 2006/01/02(月) 16:09:09 AAS
>>231
> たしかに、矛盾するものもあるね。
矛盾が「論理」であり「真実」であり「100%依拠」か。
数学においては矛盾は存在しない(と信じられている)から、
>>231の話はやはり数学の話ではなかったという事だな。
239(4): 2006/01/02(月) 16:30:35 AAS
>>238
うわあ、素朴な信者だなあ。数学において矛盾は存在しないと信じられているって？
どっちかというと、矛盾がとりあえずみつかっていないから、それで良しとして進めているって感じじゃない？
矛盾が出たら、その時修正して、うまくいく限りそれで進めていこうっていう。
数学に信仰は似合わないよ。
240(3): 2006/01/02(月) 16:31:20 AAS
>>231
更に>>177の
> ならば(>>155の)どちらを前提とするかという判断基準は?
> 信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
に対する>>181の解答
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は、>>230で指摘したように的外れ。
これにより>>231の主張
「実数概念としては連続性は前提とすべきものである」
「実数概念としては完備アルキメデス順序体が当然」
は根拠を失う。
改めて問う。
実数概念として完備アルキメデス順序体を採用する根拠は?
それは信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
282(5): 2006/01/02(月) 20:59:32 AAS
>>276
あなたの発言がもし無ければ波及しないな。
問題となっているのは
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は理由になっていない事。
「高校までの基礎教養における前提」を理由として挙げるのは自身の発言に矛盾する。
「高校までの基礎教養における前提」には素朴な集合論があり、
そこにはRussellのパラドックスという依拠できない矛盾がある。
「高校までの基礎教養における前提」には依拠出来ないものがあるにも関わらず
実数の連続性についてはこれを依拠するという不整合。
>>278
完備アルキメデス順序体においては、
1=0.999…はわずかな定義と推論により証明可能な正しい命題。
そもそも実数概念として完備アルキメデス順序体を採用すべきか、という問には
今のところそれが最も使い勝手が良いのでそうしておこうという程度。
289(4): 2006/01/02(月) 21:20:49 AAS
>>283
記号を使った方が分かり易いのだろうか。
俺には日本語で>>282以上に分かり易く説明する能力は無い。
Aを「依拠できるもの」の全体、Bを「高校までの基礎教養における前提」、
xを「実数の連続性」、yを「Russellのパラドックス」とする。
「Russellのパラドックス」は「高校までの基礎教養における前提」であり、
かつ「依拠できるもの」ではないから、
y∈B-A.
従ってB⊂Aは成り立たない。
一方>>177 >>181には
> ならばどちらを前提とするかという判断基準は?
> 信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
とある。即ち>>181は
(1) x∈B, 故に x∈A
という推論を行っている訳だ。
しかし先に見たようにB⊂Aは成り立たないのだから、
(1)は誤った推論である。つまり
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は何ら理由になっていない。
301(3): トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. 2006/01/02(月) 21:39:54 AAS
>>299
説明を乞うた人間にトンデモな説明されて、間違って理解させられた上に
矛盾が生じたらごめんなさいで終わりか・・・なかなかの大物だなｗ
>>300
高校数学における前提から導かれたものではなく、
その教育法から導かれた者なのだが。勘違いもここまで来るとな。
１＝０．９９９・・・に賛成するなら、
超準実数体による実数体の定義は否定しなきゃまずいよな。
その根拠はどこから持ってきた？
高校数学における前提でないとしたら、それはどこだ？
335(3): 2006/01/02(月) 22:41:41 AAS
>>301
> １＝０．９９９・・・に賛成するなら、
> 超準実数体による実数体の定義は否定しなきゃまずいよな。
> その根拠はどこから持ってきた？
> 高校数学における前提でないとしたら、それはどこだ？
超準実数体の定義及び議論は通常の実数体のそれと比べ
遥かに手間が掛かる。
その割に得る物は少ない。
そもそも超準解析については基本的な知識しか持っていない。
既に通常の実数体という扱いやすく(>>81参照)良く知っているものがある以上、
超準実数体を採用する動機は無い。
ただ、超準解析を否定などしない。
それを使うという前提の下で議論する事もある(>>177など)。
「賛成」というのは、「そうでないという状況を考える時はあまり無い」という程度の意味。
通常の実数体を採用するのも「高校数学における前提だから」などではない(>>81)。
また通常の実数体に代わる(トンデモでない)ものとしては超準実数体しか知らず、
消去法により通常の実数体を採用する事となる、というのもある。
341(3): ogachan 2006/01/02(月) 22:57:29 AAS
1≠0.999… の証明だよ。
外部ﾘﾝｸ[html]:members2.tsukaeru.net
解析入門Ⅰのｐ３０、３１を見てみると、実数ｘに収束する有理数列
と言っておきながら、ｘ＝[x].x_1x_2x_3・・・、として
収束先のｘと有理数列を展開したもの（すなわち、有理数列そのもの）を
等号で結んでいる。これでは、ある値aがある値ｂに限りなく近づくとき、
a=bであると言っているに等しい。限りなく近い値は等しいと言ってしまって
いる。ｘが０に限りなく近いときｘが０ならば、種々の極限が成り立たない。
ひどいな。
まぁ、実際は、
ｘ＝[x].x_1x_2x_3・・・ という表示において、
ｘと[x].x_1x_2x_3・・・と＝の３つの表示からなってるわけだけど、
このうちの、[x].x_1x_2x_3・・・に極限の意味が入っているわけなん
だけど、[x].x_1x_2x_3・・・って数値だからな、これに極限の意味を
入れるのはひどいな。
まぁ、この定義でも、１=0.999… の意味は0.999…が１に収束すると
いうことしか言ってないわけで、やっぱり、１=0.999…ではないな。
いやはや、やっと、ことの真相が分かった。十進表示って、[x].x_1x_2x_3・・・に
極限の意味を入れてるんだなぁ。
極限の意味付きで、１=0.999… だけれども、
極限の意味付きでなければ、１=0.999… ではない。
謎がすべて解けた。にしても、[x].x_1x_2x_3・・・に極限の意味を
入れるのはひどいな。
スレ終了
だな。
379(3): 2006/01/04(水) 11:46:05 AAS
１／３＝０．３３３．．．
両辺を３倍して
１＝０．９９９．．．
ＱＥＤ
388(12): 2006/01/05(木) 21:13:56 AA×
399(7): 2006/01/06(金) 21:34:44 AAS
俺が不思議に思うのは、なぜ答えがイコールになったりノットイコールになるのかってこと。
要するに定義や実数観の問題なんだとは思うんだけど、なぜそれを定めておかない
のかなって。もっと言えば、「実数」という言葉を簡単に使いすぎ。
一口に実数と言っても、もとになるアイデアが全く違うモノを同じ言葉で定義しよう
とするから混乱するんだと思うんだけど、なぜあえて同じ言葉にするのか疑問。
１＝０．９９９・・・のスレを作った趣旨は高校生とかぐらいの学力の人間の疑問を
解決するためだったと思うけど、教える側の意見が左右しちゃって、目も当てられない。
402(6): 2006/01/06(金) 23:39:27 AAS
>>400
自由度が魅力というのはわかります。ある物の見方が自由、というだけなら。
ただ、ある一つの概念についてその結論が正否まっぷたつというのは問題では
ないでしょうか。
たとえば実数というのは「数が連続している状態」と考えるとします。
しかしその連続性の部分で、すでに定義がまっぷたつです。
もしそうなら、「連続した実数」「連続していない実数」の部分で定義を
呼び変えるとか、そうしないから混乱しているのではないかという印象が
あるのです。
定義を「ある概念をたたき台として一つの仮想の体系を作り上げること」
と考えるなら、その仮想の体系が２つ３つ４つとできていくのは仕方のな
いことです。
しかしその体系が混同されているため、こんな一つの概念ですら確定でき
ないというのは大きなマイナスではないでしょうか。
このスレの厨房の言い方をすれば「メリットがない」ということです。
べつに「社長の鶴の一声」なんて必要ありません。
概念の多様性をみとめ、その多様性に合った数学のあり方が、
「数学の自由性」を口実にまったく考えられていない現状が野放しに
なっているのを問題としているだけです。
416(3): 2006/01/07(土) 20:21:47 AAS
>>415
>>399にある「教える側」の事か?
多くの「教える側」の人は、「実数」を通常の意味
(つまり完備アルキメデス順序体もしくはそれと同等な意味)で捉えていて、
混乱はしていないだろう。
中にはより精密に>>388のように考えている人もいる。
混乱しているのは「教わる側」の一部や>>399=>>402だけだろう。
422(3): 2006/01/07(土) 23:53:30 AAS
>>420
順序体(順序と両立する四則演算を持つ体)であって
アルキメデスの公理(任意のa, b>0に対しある自然数nを取ればa < n b)を満たすものについて、
次は全て同値:
1. デテキントの切断による連続性
2. 上に有界な集合の上限の存在(これを単に「連続性」と呼ぶ事が若干多いようだ)
3. 縮小区間列(区間縮小法)の原理
4. 有界数列は収束部分列を持つ
5. 完備性(任意のCauchy列は収束する)
6. 有界単調数列は収束する
(前スレ>>644を修正して引用)
この同値条件のどれか一つ、従って全てを満たすものを、通常は実数体と呼ぶ。
ある程度の厚さの微積の教科書には、この条件のどれか一つは大抵書いてある。
>>416での「通常の意味」とはこの事。
つまり多くの「教える側」の人は、
「実数」を上の同値条件のどれか一つを満たすものとして捉えていて、
混乱はしていないだろう、という意味。
ただ「教える側」の人の中に
「上の条件をどれ一つとして理解していないにも関わらず『教える側』に立とうとし、
知識不足や理解の甘さから混乱して自滅する人」
がいる事は失念していた。申し訳ない。
だがこういった人達を含めて考えても、上の意味での実数体と、
他の公理系による何か(超準実数体など)を混同してしまって混乱している人を見た事がない。
混同せずに使い分けているか、上の意味での実数体しか知らないか、
そもそも実数の定義をきちんと理解していないかのいずれかと思われる。
>>399及び>>402が問題としているような「混同して混乱している教える側の人」などいるのか?
なお
> 結局スレは混乱しているわけだ。
混乱していたのは約一名のようだったが。
424(3): 2006/01/08(日) 00:01:23 AAS
>>422
その「微積の教科書云々」の部分で、実数の定義を与える上でメリットがどうの、
デメリットとか言って暴れていた厨がいたでしょ。そいつのこと？
あとトンデモなんとかっていう奴は逆に順序体による定義に固執しすぎていた印象。
そいつに無駄に食らいついてた長文引用の厨房もいたよね。
上のogawaもいるし、それ以外にも、混乱してそうなのはけっこういたよ。
一人では決してなかったと思うが。どこを読んでそう言っているのかはしらんけど。
434(4): 2006/01/08(日) 14:53:39 AAS
>>430
あなたは
(1) 単語「実数体」の定義としては、普通は完備アルキメデス順序体(>>422の事)を採用する
(2) これを採用する基準は、信念やメリットやお約束や多数決などの非論理的なもの
(3) それ以外のものを「実数体」と名付ける事は、事前の了解の下では自由
という態度の事を「メリット論」と呼んでいるのだろう。
そして>>399,402で問題としている型の「混同して混乱」とは、
この「メリット論」が単語「実数体」の定義の混同を招き、混乱を引き起こす、という事だろう。
ogachanは上の(1)-(3)を理解していない。
そもそも>>422の条件のいずれも正しく理解していない。
>>399,402が問題とする型の「混同して混乱」以前の論理力の問題だな。
改めて問う。
>>399,402が問題とする型で「混同して混乱している人」、
即ち上の(1)-(3)を理解した上で(理解した事で)単語「実数体」の定義を混同してしまい、
混乱している人などいるのか?
もしいないようなら>>399,402での「メリット論」への批判は的外れだな。
443(4): 2006/01/08(日) 21:00:04 AAS
441=442は考え方が偏り杉
448(3): 2006/01/08(日) 21:34:12 AAS
つまりメリット論は
ヤケッパチの理論ってことか
463(3): 2006/01/08(日) 23:03:20 AAS
>>461
「どの(ペアノ算術を再帰的に含み無矛盾な)実数論の形式的体系も
その無矛盾性(Consis)を証明不可能」
という話は、「メリット論」、即ち
「実数の定義に絶対は無く、非論理的な理由でその定義ないしは公理が選ばれる事」
の根拠ではないな。
無矛盾性如何に関わらず、更には自然数論を含んでいるかに関わらず、
定義や公理の取り方に絶対は無い。
それは実数論に限らない。
どの理論にどのような名前を付けるかは自由というだけだ。
ただ>>388のA4は「論理は絶対ではない」という別の話の一つの根拠なので、
別に残しておいても構わないと思う(修正しても構わない)。
470(6): 2006/01/09(月) 11:13:43 AAS
「メリット論」の本質は
「概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
非論理的な事情により決定される」
というごく当たり前の事。
「完備アルキメデス順序体」という概念に「実数体」という名前を付けようが
「椅子」という名前を付けようが(紛らわしいが)「複素数体」という名前を付けようが、
事前の了解の下では論理的には自由。
同じく単語「実数体」で意味する概念として「完備アルキメデス順序体」を取ろうが
「朝起きてコーヒーを飲む事」を取ろうが(紛らわしいが)「超準実数体」を取ろうが
事前の了解の下では論理的には自由。
これらは全て信念・メリット・お約束・多数決などの非論理的な事情により決定される事。
「1=0.999…」はこういった非論理的な前提に「100%依拠」して成り立つ式。
この事に対する数学的に意味深い反対意見があるなら是非聞きたい。
この「メリット論」を理解した事で実数の定義を混同し混乱した人がいるなら是非詳しく聞きたい。
だが>>443や>>448のように根拠を示さない意見に意味があるとは思えない。
>>466
実閉体の理論では「nは自然数である」という意味の述語すら書けないから
ペアノ算術は含んでないな。
>>463で意図していたのはZFCや二階算術の事。
実閉体の理論の完全性と「メリット論」はやはり関係無いだろう。
489(4): 2006/01/09(月) 13:23:15 AAS
>>484
二行目は全く同意。実数の定義の妥当性を認めない人にとっては
>>483にあるような「証明」は無意味。
それ故に実数の定義の妥当性を認めない人を考慮する時
「メリット論」に行き着く。
実数の定義(として完備アルキメデス順序体)を認めるべきというのは非論理的な信念だな。
この非論理的な信念には俺も同意する(>>81>>335)。
「証明ってのは、定義あってのもの」にも同意する。
ただ単語「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体を取らなければ
証明が行えないという事は無い。
例えば>>121の定義を採用する事により
命題「1≠0.999…」の数学的に厳密な証明が可能。
>>485
完備アルキメデス順序体に「実数体」という名前を付け、
整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
この完備アルキメデス順序体の元a+Σa_i/10^nに「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるのが
>>485曰くの前者「1=0.999…と定義した数学」。
後者の例としては、超準実数体に「実数体」という名前を付け、
この超準実数体の元[a, a, ... ]+[a_1/10, a_1/10+a_2/10^2, ... ]に
「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるものが挙げられる。
他にも(適当な集合論内の)ペアノ公理系による自然数全体に「実数体」という名前を付け、
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付けても良い。
この時「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
単語「実数体」や単語「a . a_1 a_2 …」にどのような概念を対応させるかは論理的には自由。
上の前者を選ぶか後者を選ぶかは
信念・メリット・お約束・多数決などの非論理的な事情により決定される。
これが「メリット論」。その本質は>>470の通り。
492(8): 2006/01/09(月) 13:36:35 AAS
>>486
完備アルキメデス順序体においても、
適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
だがこの定義にメリットは無い。
今までの慣習とはかけ離れており、不便なだけだ。
メリットなどの非論理的事情を考慮して始めて
1＝0.999…であるべきという発言が出来る。
>>490
「それ」とはどれか?
超準実数体の例における「1≠0.999…」の事か?
それならば以下のようにして示せる:
極大フィルターによる超準モデルで考える。
定義により0.999…=[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]であるから、
0.999…は列(a_i), a_i=9/10^iの同値類である。
{ i | a_i=1 }は空集合であり、フィルターは空集合を含まないから、
従って{ i | a_i=1 }は超準実数体を定めている極大フィルターに入らない。
故に[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]≠[1, 1, ... ]、従って0.999…≠1. 証明終了。
定義さえ知っていれば自明極まる事だが。
506(3): 2006/01/09(月) 14:36:02 AAS
>>503
前スレから一貫して同じ事を主張し続けている。
即ち、概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
非論理的な事情により決定される。
例えば>>489の3段落目の3つの例はどれも論理的に問題は無い。
どの例においてもそこにおいて(そこにおいてのみ)正しい命題が
そこにおいて(そこにおいてのみ)正しい推論により証明される。
1つ目の例では「1=0.999…」、2つ目と3つ目の例では「1≠0.999…」がそれぞれ証明される。
ただし非論理的な理由により2つ目と3つ目の例での定義が採用される事はあまり無い。
故に非論理的な事情により通常は「1=0.999…」となる。
> 証明できれば、メリットなんて考えなくても真だろ。
証明の『前に』定義が必要。
その定義の選び方に関する態度が「メリット論」。
誤解しないで頂きたい。
511(6): 2006/01/09(月) 15:27:32 AAS
>>510
そのままだな。
完備アルキメデス順序体において「小数」を次のように定義する:
整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して、
0の事を「a . a_1 a_2 …」と書き、これを0の小数展開と定義する。
つまり「a . a_1 a_2 …=0」と(左辺を右辺で)定義する。
この定義の下でa . a_1 a_2 …=0が成り立つのは、正に定義そのもの。
513(3): 2006/01/09(月) 15:30:23 AAS
>>512
「1の小数展開」は定義されていない。
体においては1≠0だから、
従って>>511の定義の下では0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1は正しい。
565(3): 2006/01/09(月) 23:42:28 AA×
>>564
617(13): 2006/01/15(日) 21:12:36 AAS
>>614
すみません、そのリンク先の証明で、
ちょっとわからない事があるのですが、
lim(x→無限){ (1 - (1/x))^x }
の展開式で、先に1 - (1/x)を1へ収束させていますが、
無限って、こういう操作を許していましたっけ？
これって、
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } }
という操作なのでは？
742(3): 2006/02/18(土) 12:19:24 AAS
>>741
不可能じゃないよ
ただそこまでの技術がないだけ
でも1/3は不可能
745(3): 2006/02/18(土) 14:38:53 AAS
>>744
君は馬鹿かね？
二分の一は割り切れるが、
三分の一は割り切れないからだろうが。
このスットコドッコイ。
762(3): 757 2006/02/18(土) 22:17:58 AAS
心ひかれたから読んでたのに…ガッカリだよ！全然結果でねえじゃねえか！いや、正確には結果がでてるのにウジウジ言ってるだけか…じゃあもう1＝0.9999…だって言うやつは1って数字を一生使うな！！
859(4): 2006/03/01(水) 12:16:29 AAS
でもさ0.99999999…8は一つの点としてあるのにへんな感じ
864(3): 864 2006/03/01(水) 21:01:47 AAS
8=√(64)
912(3): 2006/03/10(金) 00:18:49 AAS
実数なんか持ち出す必要無い。
有理数を小数表記する時に循環小数を導入する。小学校でやったはず。
これを認めるなら、1=0.999…は必然。
915(3): 2006/03/10(金) 09:47:39 AAS
＞有理数を小数表記する時に循環小数を導入する。小学校でやったはず。
だから「分数から縦書きの割り算で作った循環小数」については問題なし。
けど0.999…はどんな分数を縦書き割り算しても出てこない。
>>565みたいな指導要領を超えるテクニカルな事をしない限り。
だからそのままでは小中学生にとって0.999…は正体不明。
916(3): 2006/03/10(金) 14:27:57 AAS
>>915
え？
1/3+1/3+1/3=1
そんなにテクニカル？
953(3): 2006/03/12(日) 03:16:19 AAS
>>952
知ろうとする人間と
考えようとする人間と
反発しようとする人間と
からかおうとする人間と
いろいろいるからね。
969(11): 2006/03/12(日) 18:06:19 AAS
「新たな概念は既知のものから構成する事で初めて受け容れられる」
とまでは言えないんじゃないかな。
複素数は確かにそうだったのかもしれないし、詳しく知らない。
けど例えば、√2とかπとかが受け容れられたのは紀元前だろうけど、
この頃に有理数から実数を構成するなんて思いもよらなかったはず。
関数概念もそう。
Eulerは「変数と定数とから組み立てられた解析的な式」を「関数」としていて、
この頃は初等関数程度しか「関数」では有り得なかった。
けどDirichletが「関数とは対応の事であり、
その対応の仕方は数学的算法で与えられる必要はない」として、
有理数で1、無理数で0を取るいわゆるDirichlet関数を挙げ、関数概念を革新した。
この新しい関数概念はその構成(直積の部分集合)を抜きにして受け容れられた。
そもそもこの頃(19世紀初頭辺り)はまだ集合概念が無かった。
構成とは限らないんなら、じゃあ上に上げたものは
どうして受け容れられたの？っていうと…何だろうね。
人がある概念を認めるという行為は極めて複雑だとしか俺には言えない。
973(4): 2006/03/12(日) 21:24:17 AAS
>>972
ヨーロッパ人は、俺らよりずっとずっと「存在」という言葉に拘るし、
特に虚数が出てきた頃は哲学と科学は未分化だったわけだから、そう
簡単に「図形と対応するから存在」とか「方程式解くと出てくるから存在」
とかいうプロセスで理解されていったわけではないと思うぞ。
982(5): 2006/03/12(日) 22:38:40 AAS
どっちかと言うと僕は「0のあとに9が無限個続く記号」という存在しない
（実際9を無限個書く事などできない）記号を勝手に想像してしまうあたりに
問題があると思うんだが。
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