[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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38(2): 聖ニコラス 2022/12/24(土)05:19 ID:tBAGAWoe(1/8) AAS
メリークリスマス！
みんなよいコにしてたかな？
>>37
ほう、雑談がお礼をいうのは珍しい
雪でも降るんじゃないだろうか？
さて
＞ポイントは冒頭の
＞「β1^5,β2^5,β3^5,β4^5∈Q(ζ5)となることが知られており」
＞のところだ
それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
省29
39: 聖ニコラス 2022/12/24(土)05:22 ID:tBAGAWoe(2/8) AAS
もうね、雑談クンは、数学板に書くヒマがあったら
石井本を頭から丁寧に読んだほうが
よっぽど数学が分かるようになるよ
インプットしてない人が
アウトプットしたがっても
つまらんことしか言えんから
40(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)08:51 ID:WMwnzEw8(2/6) AAS
>>37 訂正と追加
訂正
β1,β2,β3,β4∈Q(ζ5)
↓
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)
追加
要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
（a∈Q(ζ5)）
a∈Q(ζ5)が見つかれば、
省2
41(1): 聖ニコラス 2022/12/24(土)09:10 ID:tBAGAWoe(3/8) AAS
>>40
>要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>（a∈Q(ζ5)）
aは一つじゃないけど
つまり、η、η^2、η^4、η^3 の巡回ρによって生成される
ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a) の 5乗根も追加される
それも 石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある
証明全部読みなよ 全部書いてあるから
42(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)09:22 ID:WMwnzEw8(3/6) AAS
>>38
ありがとね
> それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
石井本のp412-421の記述は、ちょっと違う気がするが
一般の円分方程式論の範疇ってことと理解するよ
> 簡単にいうと
> β1^5＝β1(α0)^5＝β1(α1)^5=β1(α2)^5=β1(α3)^5=β1(α4)^5
> だから
> 5β1^5＝Σ[i=0~4] β1(αi)^5
> となって
省21
43(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)09:35 ID:WMwnzEw8(4/6) AAS
>>41
ありがとね
（再録）
>要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>（a∈Q(ζ5)）
aは一つじゃないけど
つまり、η、η^2、η^4、η^3 の巡回ρによって生成される
ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a) の 5乗根も追加される
それも 石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある
省18
44: 聖ニコラス 2022/12/24(土)09:51 ID:tBAGAWoe(4/8) AAS
>>42
＞＞それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
＞石井本のp412-421の記述は、ちょっと違う気がするが
ラグランジュの分解式を理解していれば
完全に正確に対応づけられるが
ちょっとの違いもない
逆に違うと言い張るなら、どこがどう違うか具体的に示してごらん
即座に君の誤りを指摘してみせるから
細かいところは、ちょっと違和感あるけど
大筋は、そうかも
省31
45(3): 聖ニコラス 2022/12/24(土)09:59 ID:tBAGAWoe(5/8) AAS
>>43
＞だから、本質は”aは一つ”なんだよ
＞見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ
＞（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず）
じゃ、頑張ってその ”一つのa” を見つけてくれ
もちろん、否定はしない
＞そうでないと、方程式のガロア群が5次の巡回群Z_5にならないから
それはないな
４つの５乗根をただ足し合わせているわけではないから
ちなみに
省8
46(1): 聖ニコラス 2022/12/24(土)12:39 ID:tBAGAWoe(6/8) AAS
>>40
>あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>>43
>本質は”aは一つ”なんだよ
>見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ
>（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず）
石井本の8．巡回拡大はx^n-a=0で作れる の定理6.5(p473-475)を
読んで理解したならその質問はしないね
つまり質問するということは、全然分かってないってことｗ
省4
47(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)12:54 ID:WMwnzEw8(5/6) AAS
>>45
ご苦労さん
１）石井本 第6章 「根号で表す」 7節 x^n-a=0の作る体
クンマー拡大
定理6.4 べきべき根拡大から巡回群を作る
２）また、同 8節 巡回拡大は x^n-a=0で作れる
巡回拡大からべき根拡大へ
定理6.5 巡回拡大からべき根拡大を作る
定理6.6 デデキントの補題
定理6.7 べき根拡大を作るべき根の存在
省8
48(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)13:07 ID:WMwnzEw8(6/6) AAS
>>46
>答えは、a^(1/5)＝β1 だね
>もちろん、β2でもβ3でもβ4でも構わんが
ようやく気づいたの？ｗ（>>47 ご参照）
(対して、あなた自身のレス>>45を対比して下さいｗ)
それは一つの可能性だね
その上で思ったのは、β1、β2、β3、β4に共通する因子があれば
すっきりするなと、考えたんだけど
すぐには浮かばなかったな
49: 聖ニコラス 2022/12/24(土)13:53 ID:tBAGAWoe(7/8) AAS
>>48
＞ようやく気づいたの？
ウソはいけないな
私のコメント>>47で君は初めて気づいた
それが事実
＞あなた自身のレス>>45を対比して下さい
誤魔化すのはよくないな
「β1、β2、β3、β4に共通する因子」
を具体的に示してもらうことで
「すっきり」しようとした
省18
50(1): 聖ニコラス 2022/12/24(土)14:00 ID:tBAGAWoe(8/8) AAS
>>48
>β1、β2、β3、β4に共通する因子があれば
>すっきりするなと、考えたんだけど
>すぐには浮かばなかったな
実はα0~α4のどれでもいい
どれか１つから、他の４つは巡回関数σで生み出せる
σは、cosの二倍角公式だから有理関数（しかも多項式）だ
β1~β4は、例えばα0と巡回関数σと１の5乗根ζ5から生成できる
これが「共通因子」だなｗ
定理6.5の証明の
省4
51(1): 2022/12/24(土)21:38 ID:/P8Bw71J(1) AAS
そもそも巾根解法なるものは、その前提として
数に対してその巾根が存在するということを自明であるとして話を進めているが、
そのことは、純粋に代数の範囲だけでは収まらないものであろう。
実数あるいはそれを実部と虚部とする複素数としての、極限を伴う演算でのみ
巾根は求まるものだからだ。有理数体Qの元である2に対してその平方根
である√2が最初からあると思うのは間違いで、有理数の極限として生み出された
ものが√2だからだ。純代数的にやるのなら、Qには含まれない元θが代数的
関係θ＾2＝2を満たすものとしてそれをQに添加したものが体を成している
ことを了解して、そのθが2の平方根であるとしなければならない。つまり
体の代数拡大を考えていることになる。
省7
52(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)06:36 ID:bxcZkaLZ(1/8) AAS
>>51
>そもそも巾根解法なるものは、その前提として
>数に対してその巾根が存在する
>ということを自明であるとして話を進めているが、
>そのことは、純粋に代数の範囲だけでは収まらないものであろう。
実際おさまらないのは
複素数体上の方程式は必ず複素数の根を持つという
「代数学の基本定理」の証明からも明らかであろう。
>実数あるいはそれを実部と虚部とする複素数としての、
>極限を伴う演算でのみ巾根は求まるものだからだ。
省32
53: 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)06:50 ID:bxcZkaLZ(2/8) AAS
>>52
>そうして元の体Kを変えないK(θ)上の
>自己同形全体の為す群がガロア群である。
そして、θがベキ根で表せるのは
ガロア群が可解であるとき、
すなわち、剰余群が巡回群となるような正規部分群を次々とっていって、
単位群まで縮小可能となるとき、その時に限る
その場合KとK(θ)の間の中間体Mで
M上でのK(θ)のガロア群が正規部分群
省11
54(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)09:30 ID:4mPovfMa(1/5) AAS
>>34 追加補足
まず(参考)
https://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt 2007
Department of Mathematics, University of York,
P6
(1.9) If this was always the case, things would be very simple: Galois theory would just be the study
of the “shapes” formed by the roots of polynomials, and the symmetries of those shapes. It would be a
省20
55(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)09:31 ID:4mPovfMa(2/5) AAS
>>54
つづき
さて、>>34 https://mathlog.info/articles/3161 Mathlog 子葉
β1＝α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4 ｜ηは1の5乗根で、ラグランジュ・ソルベントになっている
↓(η→η^3への置き換え)
β3＝α0+α1η^3+α2η^6+α3η^9+α4η^12=α0+α1η^3+α2η^+α3η^4+α4η^2
ここちょうど、上記 Everittの ”α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図”に相当している
ここで、Mathlog 子葉にあるのは、η 1の5乗根のη→η^3への置き換え
なので、 Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
省10
56(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)09:48 ID:bxcZkaLZ(3/8) AAS
おサルの1クン やっと、(Z/5Z)× が何なのか学び始めたね
>>54
＞（図があるが略（というかここには示せない））
＞（言葉で書くと、
＞ 複素平面上の半径r=α =2^1/5上に頂点を持つ正5角形で、
＞ 頂点の一つが実数α =2^1/5で、
＞ そこから反時計回りに、αω,αω^2,αω^3,αω^4 と頂点が配置された図）
Z/5Zは α→αω→αω^2→αω^3→αω^4 と置換する
しかし
＞（言葉で書くと、α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図））
省9
57(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)09:58 ID:bxcZkaLZ(4/8) AAS
>>55
＞Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
＞Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
＞そのうちのω＝1の5乗根 による拡大（置換）を扱っている（説明している）図ってことだね！
位数４（５ではない！）の群（Z/5Z）×
（つまりω→ω^3→ω^4→ω^2→ω）
による拡大は、クンマー拡大じゃなくて円分拡大
クンマー拡大は位数5の群(Z/5Z)による拡大な
（α→αω→αω^2→αω^3→αω^4→α）
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