[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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781(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)12:16 ID:Bc1n6x8o(1/3) AAS
>>780
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
話が上滑りだよ
１）群の作用を論じるならば、下記 佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね
２）さらに、ガロア群は、一般に二つの定義があるみたいだけど？ どっち？
３）さらに、基礎体の取り方で、違いがあるよね
（基礎体をＱとして、クンマー拡大を考えるとき、1のべき根ζが十分添加されたＱ(ζ)を考える。ここもはっきりさせてね）
４）また、普通には、下記のように体の拡大のガロア群を考えるよね
ガロア理論の基本定理から代数方程式の可解性へ繋がるのがこれだから
これらを明確に
省12
782(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)12:18 ID:Bc1n6x8o(2/3) AAS
つづき
http://www2.math.cst.nihon-u.ac.jp/sasaki代数学の基礎/2014/12/fa75a316529d0ac746d8f50958ba66ed.pdf
代数学の基礎
佐々木隆二
1.7 正規列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.7.1 作用域をもつ群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
P46
1.7 正規列
1.7.1 作用域をもつ群
Λ を集合とし, G を群とする. 写像
省8
783(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)12:18 ID:Bc1n6x8o(3/3) AAS
>>782
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
E を体 F の拡大体とし、その体の拡大を E/F と表わすこととする。また E/F の自己同型を、 F の各元を固定する E の自己同型と定義する。このとき、 E/F の自己同型全体は群を成す。これを Aut(E/F) と表わす。 E/F がガロア拡大であるなら、 Aut(E/F) を拡大 E/F のガロア群と呼び、 Gal(E/F) で表わす。 E/F がガロア拡大でない場合は、 E のガロア閉包 G に対する自己同型群 Aut(G/F) を、E/F のガロア群と定義することもある。
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
性質
省13
784(1): 2022/12/16(金)19:04 ID:2jW05cQt(2/9) AAS
Q(ζ_p^2)/Q(ζ_p) は実はクンマー拡大である。
しかし、
Q(ζ_p)/Q はどう考えてもクンマー拡大にはならない。
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
というのがバカ発言なのであるｗ
785: 2022/12/16(金)19:09 ID:2jW05cQt(3/9) AAS
>>781-783
コピペは出来ても、自分の頭では理解できてないから
自分の頭で数学を出力することが出来ない。
肝心なことが何かも分かってないから、コピペの羅列になる。
786: 2022/12/16(金)19:14 ID:2jW05cQt(4/9) AAS
>>776
位相群が単連結でなくて、何重かに覆った時点で単連結になる
という制約もなければ、理屈の上では何重でもありうるのでは。
787: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/16(金)19:20 ID:qsccuf5Z(2/5) AAS
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>779
＞＞（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
>>780
＞ その理解が間違っている。
＞ 「円分拡大=クンマー拡大K=k(a^{1/n})のa=1のとき」
＞ ではない！
そうですね
省3
788(1): 2022/12/16(金)19:22 ID:2jW05cQt(5/9) AAS
>>784
Q(ζ_p)/Q (ζ_{p-1})は（広義）クンマー拡大になる。
このように遡っていけば、いずれQには達する。
しかし、クンマー拡大を何度か続けて出来る体のことを
「クンマー拡大」とは言わない。
789: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/16(金)19:28 ID:qsccuf5Z(3/5) AAS
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>780
＞＞クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
>>781
＞ 話が上滑りだよ
おやおや 雑談 ◆yH25M02vWFhP くん
きょうもがろありろんがわからなくてすべっちゃったのかな？
＞ 群の作用を論じるならば、
省15
790(1): 2022/12/16(金)19:53 ID:2jW05cQt(6/9) AAS
>>788
>Q(ζ_p)/Q (ζ_{p-1})は（広義）クンマー拡大になる。
いやならないわ。正しくは
Q(ζ_p,ζ_{p-1})/Q (ζ_{p-1})は（広義）クンマー拡大になる。
いずれにしれても1=雑談の「円分体もクンマー拡大の
特別な場合として捉えられるじゃん」という発想が
アホだってこと。
791(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)20:56 ID:5lN5KQGq(3/7) AAS
>>781より再録
>>780
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
話が上滑りだよ
１）群の作用を論じるならば、下記 佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね
２）さらに、ガロア群は、一般に二つの定義があるみたいだけど？ どっち？
３）さらに、基礎体の取り方で、違いがあるよね
（基礎体をＱとして、クンマー拡大を考えるとき、1のべき根ζが十分添加されたＱ(ζ)を考える。ここもはっきりさせてね）
４）また、普通には、下記のように体の拡大のガロア群を考えるよね
ガロア理論の基本定理から代数方程式の可解性へ繋がるのがこれだから
省5
792(2): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/16(金)21:07 ID:qsccuf5Z(4/5) AAS
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>791
あれあれ、雑談 ◆yH25M02vWFhP くん
いままで、群Gと作用域Λがまったくわからないで
数学書を読みとばしてたのかな それじゃ全然中身がわからなかったでしょ
じゃ質問
Q1．方程式X^5-2=0の、Q(ζ5)上のクンマー拡大のガロア群Gとその作用域Λは？
またλ∈Λ g∈Gを具体的に記した上で、λgを具体的に書けるかな？
省8
793(7): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/16(金)21:14 ID:qsccuf5Z(5/5) AAS
>>792
雑談 ◆yH25M02vWFhP くんにはむずかしかったかな
じゃ、もっとやさしいしつもんね
Q1．X^5-2=(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)(X-E) として
B=f(A)、C=f(B)、D=f(C)、E=f(D)、A=f(E) としたとき
関数 f は何かな？
Q2．X^4+X^3+X^2+X+1=(X-A)(X-B)(X-C)(X-D) として
B=g(A)、C=g(B)、D=g(C)、A=g(D) としたとき
関数 g は何かな？
ヒント f と g は異なる関数
794(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)21:28 ID:5lN5KQGq(4/7) AAS
>>790
>いずれにしれても1=雑談の「円分体もクンマー拡大の
>特別な場合として捉えられるじゃん」という発想が
>アホだってこと。
ちょっと、下記の
「ToSHIの宇宙2
１のベキ乗根はベキ根で解けるか?（円分多項式の根）2007-02-24」
をチラ見してみて
これが正しいかどうは検証していないが（見たところそうおかしくもないので合ってそうだが）
で、彼がしているのは、ガウスの方法ではなく、ガロア理論で
省18
795: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)21:29 ID:5lN5KQGq(5/7) AAS
>>794
つづき
一般に１の原始ｎ乗根(primitive ｎth root of unity)の１つをζnで記述することにします。そして帰納法の仮定として,問題としている素数ｐに対し,ｍ≦(ｐ－1)の１の原始ｍ乗根はすべてベキ根で解けると仮定します。
また,ζp は１の原始ｐ乗根の１つですからｐ－1次の円分方程式を満足し,この円分方程式はｐが素数なのでＱを有理数体としてＱで既約ですから,Ｑにζpを添加した拡大体Ｑ(ζp)については,次数は[Ｑ(ζp):Ｑ]＝ｐ－1です。そしてこの円分方程式のガロア群(Galois group)Gal(Ｑ(ζp)/Ｑ)は(Ｚ/ｐＺ)×に同型なので,アーベル群(Abel group)であり,それゆえ可解群(solvable group)です。
略
それゆえ,ガロアの偉大な定理によってＱ'(ζp)/Ｑ'もベキ根による拡大になります。したがってＱ'(ζp)の元ζpはＱ'の上でベキ根で解けるはずですが,Ｑ'＝Ｑ(ζp-1)におけるζp-1自身も帰納法の仮定によってＱの上でベキ根で表わせるのですから,結局のところζpはＱの上でベキ根で解けることが示されたことになります。
ガロア理論を理解するために１のベキ乗根をベキ根で表わせることを証明したいと思って,ガウスの証明を参照したかったのですが,肝心のところに関する参考文献が,当面のところ不明だったので,結局ガロア理論を用いてしまったわけで我ながらいささか本末転倒の感があります。
参考文献:原田耕一郎 著「群の発見」(岩波書店),足立恒雄 著「ガロア理論講義」(日本評論社)
(引用終り)
以上
796(1): 2022/12/16(金)21:40 ID:2jW05cQt(7/9) AAS
>>791
ガロア理論10年以上勉強して「ガロア群の作用」も分かってないのがダメだね
そんなひとにも分かる説明ってあるの？ｗ
ガロア群の作用が何通りもあると思ってるフシがあるし。
本質的には一通りですよ。でなきゃ、「絶対ガロア群」なんて定義できない。
797(2): 2022/12/16(金)21:42 ID:2jW05cQt(8/9) AAS
10年以上ガロア理論勉強して、本も多数揃えているという1=雑談のバカ発言
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
アホかｗｗ
aが5乗数じゃないとき
x^5-a=0 の根たち、a^{1/5},a^{1/5}ζ_5,...,a^{1/5}ζ_5^4
はすべて共役で、ガロア群が推移的に作用している。
一方で、a=1のときa^{1/5}=1にどんなガロア群を作用させても不変ですよｗｗ
798: 2022/12/16(金)22:01 ID:2jW05cQt(9/9) AAS
1はコピペする前に>>728読んで理解しろ。
これで理解できないなら、どんな本読んでも理解できないよ。
799(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)23:47 ID:5lN5KQGq(6/7) AAS
再度問う
>>781より再録
>>780
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
話が上滑りだよ
１）群の作用を論じるならば、下記 佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね
２）さらに、ガロア群は、一般に二つの定義があるみたいだけど？ どっち？
３）さらに、基礎体の取り方で、違いがあるよね
（基礎体をＱとして、クンマー拡大を考えるとき、1のべき根ζが十分添加されたＱ(ζ)を考える。ここもはっきりさせてね）
４）また、普通には、下記のように体の拡大のガロア群を考えるよね
省6
800(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)23:57 ID:5lN5KQGq(7/7) AAS
>>796
ふっ
ID:2jW05cQtさん、必死でゴマカスの図かよｗ
>ガロア群の作用が何通りもあると思ってるフシがあるし。
>本質的には一通りですよ。でなきゃ、「絶対ガロア群」なんて定義できない。
>>780より
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
この>>780って、ID:2jW05cQtさん、
あなたの発言だよ
>ガロア理論10年以上勉強して「ガロア群の作用」も分かってないのがダメだね
省11
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