[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第89巻 (1002ﾚｽ)
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13(2): 2020/02/13(木)22:14 ID:Nwzjxb6/(1/8) AAS
James Munkresさんの『Topology 2nd Edition』を読んでいます。

{a, b, c} の本質的に異なる位相は9つあるそうです。

その9つある位相から2つの位相を選ぶ組み合わせの数は、 36 です。

この36のペアそれぞれに対し、互いに比較可能な位相かどうかを決定し、比較可能であれば、どちらが
強い位相か答えよという問題があります。

単純ですが、大変な問題を出題しますね。
省1

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14: 2020/02/13(木)22:26 ID:Nwzjxb6/(2/8) AAS
{1, 2, …, n} の部分集合の集合が {1, 2, …, n} の位相かどうか判定する効率的なアルゴリズムってありますか？

{1, 2, …, n} の位相をすべて求める効率的なアルゴリズムってありますか？

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16: 2020/02/13(木)22:38 ID:Nwzjxb6/(3/8) AAS
>>15

http://www.shokabo.co.jp/author/1401/1401QAtable.htm

↑このページって近いうちに消されてしまいますかね？

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17(1): 2020/02/13(木)22:49 ID:Nwzjxb6/(4/8) AAS
>>13

やってみると本質的に異なる位相が 9 つあるというのは簡単に分かりますね。

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18: 2020/02/13(木)22:55 ID:Nwzjxb6/(5/8) AAS
>>17

ポイントは、

開集合の個数が 2 個の位相は？
開集合の個数が 3 個の位相は？
開集合の個数が 4 個の位相は？
開集合の個数が 5 個の位相は？
開集合の個数が 6 個の位相は？
開集合の個数が 7 個の位相は？
開集合の個数が 8 個の位相は？

と考えることですね。

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19: 2020/02/13(木)23:05 ID:Nwzjxb6/(6/8) AAS
>>13

コンピューターを使う必要はない問題ですね。

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20(1): 2020/02/13(木)23:20 ID:Nwzjxb6/(7/8) AAS
1 = {Φ, {a, b, c}}
2 = {Φ, {b}, {a, b, c}}
3 = {Φ, {a, b}, {a, b, c}}
4 = {Φ, {a}, {a, b}, {a, b, c}}
5 = {Φ, {a}, {b, c}, {a, b, c}}
6 = {Φ, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}}
7 = {Φ, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}
8 = {Φ, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}
9 = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}

1 ⊂ 2
省23

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21: 2020/02/13(木)23:24 ID:Nwzjxb6/(8/8) AAS
>>20

この問題の不満点は、

例えば、

2 = {Φ, {c}, {a, b, c}}

と変えると
省3

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