[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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3(2): ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)19:01 ID:O1RoUxa/(3/3) AAS
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17: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)10:37 ID:eEntaTO9(2/2) AAS
[証明]
t∈[0,1]のとき1/2≦1/(t^2+1)≦1であるから、
b_n=t^n*(1-t)^nとすれば
(1/2)b_4≦b_4/(t^2+1)≦b_4
である。よって、
(1/2)∫[0→1]b_4dt<∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt<∫[0→1]b_4dt
が成り立つ。ここで、
∫[0→1]b_4dt=4!4!/9!=1/630
∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt
=∫[0→1]{t^6-4t^5+5t^4-4t^2+4-(4/(t^2+1))}dt
省7

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129: ◆uxQt4Y4ywU 2020/02/19(水)01:16 ID:z5ozU8LY(3/4) AAS
[証明2]
v(x-y)=a(≧1)とおくと、v(k)=0なるk∈ℤ︎を用いて
x=kp^a+yと表せる。このとき、二項定理から
x^n-y^n=Σ[i=1→n]nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)=Σ[i=1→n]f(n,i)
である。ただし、f(n,i)=nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)とした。
以下、v(f(n,i))=v(nCi)+aiである事に注意する。
[1]v(n)=0のとき
i≧2ならばv(f(n,i))=v(nCi)+ai≧2aであり、
i=1ならばv(f(n,i))=v(n)+a=aであるので、
v(x^n-y^n)=a=v(x-y)+v(n)となる。
省18

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