[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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129: ◆uxQt4Y4ywU 2020/02/19(水)01:16 ID:z5ozU8LY(3/4) AAS
[証明2]
v(x-y)=a(≧1)とおくと、v(k)=0なるk∈ℤ︎を用いて
x=kp^a+yと表せる。このとき、二項定理から
x^n-y^n=Σ[i=1→n]nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)=Σ[i=1→n]f(n,i)
である。ただし、f(n,i)=nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)とした。
以下、v(f(n,i))=v(nCi)+aiである事に注意する。
[1]v(n)=0のとき
i≧2ならばv(f(n,i))=v(nCi)+ai≧2aであり、
i=1ならばv(f(n,i))=v(n)+a=aであるので、
v(x^n-y^n)=a=v(x-y)+v(n)となる。
[2]n=pのとき
i=pならばv(f(n,i))=v(1)+ap>a+1であり、
p>i≧3ならばv(f(n,i))=v(pCi)+ai>a+1であり、
(↑ただしこの場合はp>3のときに限り生じる)
i=2ならばv(f(n,i))=v(p(p-1)/2)+2a=1+2a>a+1であり、
i=1ならばv(f(n,i))=v(p)+a=a+1であるので、
v(x^n-y^n)=a+1=v(x-y)+v(n)となる。
[3]n=lp^m(l,m∈ℤ︎,m≧0,v(l)=0)のとき
m=0のときは[1]より良い。
m=j(j∈ℤ︎,j≧0)で補題が成立したとすると、
v(x^(lp^(j+1))-y^(lp^(j+1)))
=v((x^(lp^j))^p-(y^(lp^j))^p)
=v(x^(lp^j)-y^(lp^j))+v(p) (∵[2])
=v(x-y)+v(lp^j)+v(p) (∵仮定)
=v(x-y)+v(lp^(j+1))
となり、m=j+1でも補題は成立する。
よって、帰納法により補題の成立が示された。
以上[1]~[3]より、示された。//
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