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(・ω・)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139レス)
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◆uxQt4Y4ywU
2020/02/19(水)01:16
ID:z5ozU8LY(3/4)
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129: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2020/02/19(水) 01:16:33 ID:z5ozU8LY [証明2] v(x-y)=a(≧1)とおくと、v(k)=0なるk∈ℤ︎を用いて x=kp^a+yと表せる。このとき、二項定理から x^n-y^n=Σ[i=1→n]nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)=Σ[i=1→n]f(n,i) である。ただし、f(n,i)=nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)とした。 以下、v(f(n,i))=v(nCi)+aiである事に注意する。 [1]v(n)=0のとき i≧2ならばv(f(n,i))=v(nCi)+ai≧2aであり、 i=1ならばv(f(n,i))=v(n)+a=aであるので、 v(x^n-y^n)=a=v(x-y)+v(n)となる。 [2]n=pのとき i=pならばv(f(n,i))=v(1)+ap>a+1であり、 p>i≧3ならばv(f(n,i))=v(pCi)+ai>a+1であり、 (↑ただしこの場合はp>3のときに限り生じる) i=2ならばv(f(n,i))=v(p(p-1)/2)+2a=1+2a>a+1であり、 i=1ならばv(f(n,i))=v(p)+a=a+1であるので、 v(x^n-y^n)=a+1=v(x-y)+v(n)となる。 [3]n=lp^m(l,m∈ℤ︎,m≧0,v(l)=0)のとき m=0のときは[1]より良い。 m=j(j∈ℤ︎,j≧0)で補題が成立したとすると、 v(x^(lp^(j+1))-y^(lp^(j+1))) =v((x^(lp^j))^p-(y^(lp^j))^p) =v(x^(lp^j)-y^(lp^j))+v(p) (∵[2]) =v(x-y)+v(lp^j)+v(p) (∵仮定) =v(x-y)+v(lp^(j+1)) となり、m=j+1でも補題は成立する。 よって、帰納法により補題の成立が示された。 以上[1]~[3]より、示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/129
証明 とおくとなるを用いて と表せるこのとき二項定理から であるただしとした 以下である事に注意する のとき ならばであり ならばであるので となる のとき ならばであり ならばであり ただしこの場合はのときに限り生じる ならばであり ならばであるので となる のとき のときはより良い で補題が成立したとすると 仮定 となりでも補題は成立する よって帰納法により補題の成立が示された 以上より示された
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