[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 (1002ﾚｽ)
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1(2): １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)17:51 ID:joMjBMfa(1/7)
このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連まで）
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2
2chｽﾚ:math
資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0
＜乗数イデアル関連＞
前々スレ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
2chｽﾚ:math 以降ご参照
あと、テンプレ順次
2(2): １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)17:52 ID:joMjBMfa(2/7)
つづき
メモ
https://www.iwanami.co.jp/book/b374907.html
岩波科学ライブラリー
ガロアの論文を読んでみた
時代を超越していたガロアの第1論文．その行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．
https://www.iwanami.co.jp//images/book/374907.jpg
著者 金 重明 著
刊行日 2018/09/21
試し読み
https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0296770.pdf
この本の内容
決闘の前夜，ガロアが手にしていた第1論文．方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は，まさに時代を超越するものだった．置換の定式化にはじまり，ガロア群，正規部分群の発見をへて，方程式が代数的に解ける条件の証明へ．簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．
つづく
3(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)17:52 ID:joMjBMfa(3/7)
>>2
つづき
http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois01.html
ガロア理論 Galois theory
第一論文
ガロアの第一論文は、「方程式が代数的に解けるための必要十分条件」を【原理】と【応用】で論じている。
ここでは【原理】の部分を確認する。1831年当時「群」・「体」の用語がなく、ガロアは「群」・「体」という言葉は使わなかったが、ここでは「群」・「体」という用語を使って説明する。
概要
第一論文は、
・定義（可約と既約）
・定義（置換群）
・補題１（既約多項式の性質）→補題２（根でつくるV）→補題３（Ｖで根を表す）→補題４（Ｖの共役）
・定理１（「方程式のガロア群」の定義）
・定理２（「方程式のガロア群」の縮小）
・定理３（補助方程式のすべての根を添加）
・定理４（縮小したガロア群の性質）
・定理５（方程式が代数的に解ける必要十分条件）
というストーリーで進みます。
http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois02.html
ガロア理論 Galois theory
つづく
4(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)17:53 ID:joMjBMfa(4/7)
>>3
つづき
メモ
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/15/4/15_4_159/_pdf
ガロア理論の推移史について
中村幸四郎*
科学基礎論研究1982
この論文は多くの後継者を経て,後に「ガロア理論」
といわれ,数学理論のうちの理論ともいわれるものとな
り,現代に及んでいることは周知のとおりであるが,私
はこの小文において,これがフランス数学からドイツ数
学へ移行する問題を,数学史の1つの問題として考察し
ょうと思う。
2.現在行われている「ガロア理論」は約150年の歳月
を経て,ガロアの原著とは著しく変ったものとなってい
る.その最も著しい点はガロアの原著が群(とくに有限
群)を基調とするものであるのに対比して,現代の理論
は体(Korper)の理論,特に体の「拡大」(Erweiterung)
を基礎に置くものとなっている。
つづく
5(3): １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)17:53 ID:joMjBMfa(5/7)
>>4
つづき
あと
前々スレの終わりのころから
＜乗数イデアル関連＞の話になっています
これも、5ｃｈらしくて良いと思いますｗ
テンプレは、以上です
6(3): １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)18:33 ID:joMjBMfa(6/7)
さて、前スレが終わってしまったが
前スレからの続きに戻る
>>2chｽﾚ:math
逆元-逆行列を調べると
”体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）”
とあります
また、環の零因子 ja.wikipediaによれば、
”環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。”
です
なお、体 K に成分を持つ正方行列では、
”正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である”
です
実際、下記の如く正方行列のA、Xで「AX=Ｏ となる x≠ Ｏ が存在する」とき
もし、Aが逆行列A^-1 を持てば
左辺に A^-1を掛けて、A^-1・AX＝Ｅ・X＝X ここにＥは単位行列
右辺は、A^-1・Ｏ＝Ｏ
つまり、X＝Ｏとなる
背理法により、”Aは逆行列A^-1 を持たない”
つまり、体 K に成分を持つ正方行列で、零因子の条件から、直ちに”Aは逆行列 を持たない”が導かれるのです
これは、常識として覚えておくのが良いでしょうね
逆元を持たない非正則行列
↓↑
零因子の行列
という同値関係は、当然知っておくべきと思うよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
逆元
厳密な定義
単位的マグマの場合
このとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。M の元 x に対して、M の元 y で x の左逆元かつ右逆元であるようなものが存在するとき、
両側逆元 (two-sided inverse) あるいは単に逆元 (inverse) であるといい、x は M において可逆であるという。このとき、y も可逆であり、x は y の逆元になる。
つづく
7: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)18:34 ID:joMjBMfa(7/7)
>>6
つづき
逆行列・擬逆行列
体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。
階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ[2]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
正則行列
正則行列（英: regular matrix）、非特異行列（英: non-singular matrix）あるいは可逆行列（英: invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。
定義
n 次単位行列を En や E で表す。 環の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して、
AB=E=BA
を満たす n 次正方行列 B が存在するとき、A は n 次正則行列、あるいは単に正則であるという[1]。A が正則ならば上の性質を満たす B は一意に定まる。 これを A の逆行列（ぎゃくぎょうれつ、英: inverse matrix）と呼び、A?1 と表す[2]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
環の零因子（英: zero divisor）とは、環の乗法において、
零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する
ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。
定義
環 R の元 a は、 ax=0 となる x≠ 0 が存在するとき、すなわち
∃x∈R＼{0}:ax=0
を満たすときに
左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる。
同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる
環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。
(引用終り)
以上
8: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)20:23 ID:RfUydVT2(1)
関数を成分とする行列についての本格的な理論は
アンリ・カルタンに始まる
9(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水)21:06 ID:Lto72acu(1)
>>6 追加
結合則が成り立つ場合
左反転と右反転は、一致します（下記）
証明は
「l=l*(x*r)=(l*x)*r=r」です
覚えておきましょう！
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_element
Inverse element
Inverses
An element is invertible under an operation if it has a left inverse and a right inverse.
In the common case where the operation is associative, the left and right inverse of an element are equal and unique.
Indeed, if l and r are respectively a left inverse and a right inverse of x, then
l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.
The inverse of an invertible element is its unique left or right inverse.
（google訳）
要素に左反転と右反転がある場合、要素は操作の下で反転可能です。
操作が結合的である一般的なケースでは、要素の左と右の反転は等しく、一意です。
実際、l と r がそれぞれ x の左逆と右逆である場合、
l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.
可逆要素の逆は、その唯一の左または右の逆です。
10: １３２人目の素数さん [] 2023/04/06(木)21:09 ID:m70U+rhw(1)
>>9
これいいね
https://ocw.nagoya-u.jp/ 名大の授業Webサイト
https://ocw.nagoya-u.jp/courses/0611-%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0-%E2%85%A0-2016/
線形代数-Ⅰ-2016
https://ocw.nagoya-u.jp/files/611/linear2016.pdf
行列代数あれこれ 山上 滋 2017
線型代数の内容は、今となってはどれも代り映えがせず、だれがやっても金太郎飴状態のようにも思えるの
で、あえてそれに逆らうのは愚かなれど、別の見方をすると、十年一日、進歩がないというか、時代の変化を
無視してきたというのか、そのつけを支払わされるのは、教わる学生のみならず、巡り巡って社会全体に及ぶ
という大風呂敷。冥途のみやげに最後の悪あがきもまた一興。
８年ぶりの線型代数、相変わらず進歩がないというよりもむしろ劣化が激しいので、今回はぜひとも教科書
の指定をと思い、以下の項目をチェック。
(i) ３次元座標空間の幾何学はあるか。正射影、平面の方程式、距離の公式。
(ii) 連立一次方程式の幾何学的解釈があるか。
(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
(v) 実二次形式の標準化が説明してあるか。極値問題への応用が意識されているか。
何と、大部分が (iii), (iv) でアウト。かろうじて残ったものも (i), (ii) であえなく撃沈。ううむ、困った。
しようがないので、昔のノート*1 をふくらまして凌ぐことにしよう。題して、行列代数あれこれ*2。あれこれ
というよりは、行きあたりばったりであるか。行き倒れにならないといいのだが、はてさて。
*2 線型代数は使ってなんぼのもんである。あれもこれもと欲張るよりは、基本的なところをさっとやって、あとは個々人の関心のお
もむくまま実践するのがよい。そうして、必要になったときに必要な範囲で掘り下げる。丁寧にしつこく教えたとて身につくもの
でなし。その意味で、教科書は簡潔明瞭が良いのであるが、一方で砂をかむの苦行を強いるものは避けたい。行きあたりばったり
を標榜する所以である。
目次
略
https://ocw.nagoya-u.jp/files/611/linear2016_8.pdf
8 逆行列と基底
11(4): １３２人目の素数さん [] 2023/04/07(金)07:01 ID:Y4ly2xEO(1)
>>行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
これは院生の時に気になって自分で考えて納得した。
授業で教わらなくてよかったと思った。
12: １３２人目の素数さん [] 2023/04/07(金)08:18 ID:pxeXP1Xo(1/2)
>>11
ありがとう
>>>行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
>これは院生の時に気になって自分で考えて納得した。
>授業で教わらなくてよかったと思った。
なるほど
だけど、時代が違うからなぁ
例えば、下記みたいなこと？（検索ですぐ出る）
あと、私みたいな凡才は
教わらないと一生知らないだろうしｗ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/400px-Determinant_parallelepiped.svg.png
この平行六面体の体積はベクトル r1, r2, r3 の成す 3 次正方行列の行列式の絶対値に一致する。
概要
実2次正方行列 X に対して（上の記号の下で）det X ? ad - bc を対応させると、det(XY) = (det?X)(det?Y) であることや、det X > 0 であるとき X の定める変換は図形の向きを保ち、反対に det X < 0 であるとき図形の向きは反転させられることが分かる。det の乗法性から X が可逆ならば det X は逆数を持つ数であることが従うが、反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから det X = 0 となることがいえる。こうして、正方行列 X が正則であることと X の行列式が可逆であることは同値であることが分かる。
同様にして一般の次数のN次正方行列 X に対し、X の定める線型変換が超立体(N次図形)の超体積を何倍にしているかという符号付き拡大率を X の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、二次の場合と同様にこれは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特にクラメルの公式により、根が一組である線型方程式系の根の公式が行列式を用いて表示される。
13(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/07(金)09:22 ID:KpcO+xjv(1/2)
自分で考えたときは
図を書きながら体積の性質を一つずつ
確かめた結果
行列式(の絶対値)以外にないということが分かり
一応の満足を得た。
やってみるかどうかだけだと思う。
14(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/07(金)11:25 ID:yOziRF02(1)
>>13
ありがとう
レベルと意識が、私らと違うね
実は、山上先生で引用しなかった部分が下記
https://ocw.nagoya-u.jp/files/611/linear2016.pdf
行列代数あれこれ
山上 滋
2017 年 2 月 2 日
参考書
[4] 草場公邦「線型代数?増補版」、朝倉書店 (1988, \2700/150pp)。薄くて格調高く説明も親切な良書では
あるが、口をあけて餌が飛び込んでくるのを待っているような人には勧められない。
(引用終り)
名古屋大生が、すべて「口をあけて餌が飛び込んでくるのを待っているような人」とは言わないが
多少はいるんだろうね（どこにでもいるかも）
まあ、東大で初年度にワイルの原書をゼミで使う流儀とは、真逆であるとはいえるだろし
”行列式の幾何学的意味”>>11ということに、気づきがあるかどうか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8D%89%E5%A0%B4%E5%85%AC%E9%82%A6
草場 公邦（くさば としくに、1937年2月19日 - 2008年10月31日[1]）は、日本の数学者。
略歴
東京生まれ。1961年東京大学理学部数学科卒、同大学院修士課程修了[2]。エコール・ノルマル・シュペリウールを経て東京都立大学 (1949-2011)助手、東海大学理学部助教授、教授。2008年定年、名誉教授。
15(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/07(金)14:46 ID:KpcO+xjv(2/2)
線型代数 (すうがくぶっくす) 単行本 – 1988/10/1
草場 公邦 (著)
5つ星のうち5.0 素晴らしい入門です
全４章、１７０ページのコンパクトな本の中に、基本ポイントがおさめられている。著者が考え
る線型代数のイメージが書かれたものである。
１章「行列式の話」では、行列の定義と基本変形、行列式の定義と基本変形が、クリアに
解説される。クラーメルの公式がとりあげられ、また行列式が面積と体積の表現であること
が解説される。
初めの１章は、言ってみれば、行列と行列式の変形の「型」の解説であり、型に習熟した
後にその「心」が説かれることになる。
２章「線型空間の話」では、幾何ベクトルは「同値類」の考えに基づくものであり、ひとつ
一つのベクトルは、線形空間が定義されて初めて意味を持つことが、卑近な例で説明される。
線型空間はさまざまな次元をもつこと、また線形空間は「基底」によって表現されるが、基底
のとり方で空間の特徴がはっきりと表現されることが指摘される。４章につなげられる。
16(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/07(金)21:29 ID:pxeXP1Xo(2/2)
>>15
私も、草場公邦 ガロワと方程式 買いました
hiroyukikojima氏のおすすめで
https://hiroyukikojima.はてなブログ/entry/20080327
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。幾何的なイメージなしには進むことができない人もいれば、むしろ逆に、非常に形式化されてがちがちに論理的な進み方をしないとわかったような気がしない、という人もいると思う。だから、何か数学的な知識の必要があった場合、何冊にもチャレンジして自分に合った教科書を探すのがベストだと思う。
ただ、最大多数にわかりやすい数学書となると、数は限られてくる。数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。そんな中、最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
ガロワと方程式
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1989/07/01
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線型代数
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1988/10/01
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行列特論 (1979年) (基礎数学選書〈21〉)
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1979/09
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どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。
17(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土)08:51 ID:uINpshNp(1/3)
昔、「基礎数学」の月報で
草場先生の文章を読んで感心したことがありました。
18(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土)08:59 ID:bSMWtlup(1/7)
>>17
ありがとう
>昔、「基礎数学」の月報で
>草場先生の文章を読んで感心したことがありました。
「基礎数学」の月報は、>>16 基礎数学選書〈21〉裳華房 とかで
小さな冊子が付属しているやつか
（これ自身は見ていないが）
昔、ありましたね。シリーズもので
既に出た巻とこれから出る予定の巻の紹介
それに、エッセイみたいなのが載っていましたね
草場先生は、文章うまいのでしょうね
19(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土)09:01 ID:uINpshNp(2/3)
>>14
>>”行列式の幾何学的意味”>>11ということに、気づきがあるかどうか？
この「気づき」が欲しいので数学をやっている。
数学者たちが難問を尊ぶ理由もそこにある。
20(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土)09:04 ID:uINpshNp(3/3)
>>18
夭逝した同級生が鼻くそをほじりながら
数学を考えているところの描写に
感心した。
「基礎数学」は岩波。
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