ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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243(1): 暇人 06/28(土)14:55 ID:4S+Arcik(18/23) AAS
>>242
以下では、当該箇所（ステップX）の議論を厳密に再検討し、
なぜこれが循環論法でないかを詳細に説明します。
問題の背景
十分性の証明では、ガロア群 G=Gal(L/K) が可解群であるとき、
代数方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表せることを示しています。
ステップXでは、巡回拡大 Ki+1/Ki を構成する際に、
Ki が１の原始 ni乗根 ζ‗ni を含まない場合、Ki(ζ‗ni) を構成する必要があり、
これが x^ni−1=0 の解の添加（べき根の添加）として記述されると述べました。
ご指摘の懸念は、ζ‗ni 自体が x^ni−1=0 の解であるため、
「ζ‗ni を添加する」ことが「ζ‗ni自身を仮定する」ように見え、
循環論法に陥るのではないかという点です。
以下で、このプロセスが循環論法でない理由を説明します。
244(1): 暇人 06/28(土)14:56 ID:4S+Arcik(19/23) AAS
>>243
ステップXの詳細な再検討
状況の再確認
Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、
ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。
巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。
もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。
原始乗根の添加
１の原始 ni 乗根 ζ‗niは、方程式 x^ni−1=0 の根であり、
Ki(ζ‗ni)/Ki はこの方程式の分裂体への拡大です。
この拡大は、体の標数が ni と互いに素である場合（例えば、Ki⊆Q や標数 0 の体）、ガロア拡大であり、
ガロア群 Gal(Ki(ζ‗ni)/Ki)は (Z/niZ)×（ni 番目の単位根群）に同型です。これはアーベル群であり、したがって可解群です。
例えば、ni=p（素数）の場合、
x^p−1=(x−1)(x^(p−1)+x^(p−2)+⋯+1) であり、
ζ‗pは円分多項式 Φp(x)=xp−1+⋯+1=0 の根です。
この拡大は巡回拡大であり、ζ‗pを添加することで得られます。
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