ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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229(2): 暇人 06/28(土)08:41 ID:4S+Arcik(7/23) AAS
>>225
補足：原始根の添加
（注：ここの箇所はGrokの文章を修正している
修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた
修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正
修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが
このままだと循環論法なので、以下文章を追加した）
もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、
ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。
(x^ni−1)/(x-1)のガロア群は(Z/ni)×と同型であり、可解群であるので
体Kiの標数が 0 もしくは (Z/ni)×の位数と素であるなら、
>>226-228のステップ１、２，３により、上記の方程式の解が
K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
（注：(Z/ni)×はZ/niと異なる）
234(1): 暇人 06/28(土)08:47 ID:4S+Arcik(12/23) AAS
>>224
結論
十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。
必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。
よって、定理が証明された。
236(3): 暇人 06/28(土)09:50 ID:4S+Arcik(14/23) AAS
223-235を読むかぎり、
Grokはここの「スレ主」こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPよりも
ガロア理論による可解性の定理の証明を「理解」している、と思える
ただ1点気になるのは>>229の原始根の添加の箇所
過去のスレ主の発言をみると明らかに理解できていなかったが
Grokがこの点について、スレ主よりも分かっている説明ができるかどうか…
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