ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (458ﾚｽ)
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227(4): 暇人 06/28(土)08:37 ID:4S+Arcik(5/23) AAS
>>226
ステップ2：拡大の連鎖
正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。
各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。
最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。
228(2): 暇人 06/28(土)08:38 ID:4S+Arcik(6/23) AAS
>>227
ステップ3：解の表現
f(x) の解は L の元であり、L は K から四則演算（体の基本演算）とべき根の添加の繰り返しで構成される。
各べき根 α は x^ni−a=0 の解であり、a∈Ki。
これを繰り返すことで、f(x) の根は K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
229(2): 暇人 06/28(土)08:41 ID:4S+Arcik(7/23) AAS
>>225
補足：原始根の添加
（注：ここの箇所はGrokの文章を修正している
修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた
修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正
修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが
このままだと循環論法なので、以下文章を追加した）
もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、
ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。
(x^ni−1)/(x-1)のガロア群は(Z/ni)×と同型であり、可解群であるので
体Kiの標数が 0 もしくは (Z/ni)×の位数と素であるなら、
>>226-228のステップ１、２，３により、上記の方程式の解が
K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
（注：(Z/ni)×はZ/niと異なる）
234(1): 暇人 06/28(土)08:47 ID:4S+Arcik(12/23) AAS
>>224
結論
十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。
必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。
よって、定理が証明された。
237(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/28(土)11:46 ID:Om34p0pv(1/4) AAS
>>236
ご苦労さまです
ありがとうございます
スレ主です
Grokさんは、”知識”という意味では 賢い（多数文献を読んで 上澄みを出力するという意味で）
が、「理解」という概念は、軽々しく使わないのが良いだろうと これを読んで思う
>>223-235のGrokを批判すれば
1）まずは、有理数体Qの場合に限って
代数方程式ガロア理論を説明すれば良いところだが（標数pの場合は それが済んでから）
そういう区別ができないらしい（多数の文献読んで ぐしゃぐしゃｗ）
2）ご指摘のように(>>236) 多分 Grokは原始根の意味が分ってない
例えば 「ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる」>>227とか イミフ
つまり、原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
しばしば人は、略して（用語の濫用） ”原始根”と称することがあるのです。それ、理解できないんだろうね ；ｐ）
3）そもそも、有理数体Qが標数0だと「理解」しているかどうか？
そこから疑問だし、標数の意味さえあやしいかも
それが、いまのGrokの限界だろう
(参考)
外部ﾘﾝｸ:manabitimes.jp
高校数学の美しい物語
原始根の定義と具体例（高校生向け）2021/03/07
外部ﾘﾝｸ:pc1.math.gakushuin.ac.jp
中野伸研究室 学習院
外部ﾘﾝｸ:pc1.math.gakushuin.ac.jp
「代数入門」(2016)の資料
外部ﾘﾝｸ[html]:pc1.math.gakushuin.ac.jp
「代数入門」(2014)の資料
外部ﾘﾝｸ[pdf]:pc1.math.gakushuin.ac.jp
第10章 原始根
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