ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
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120(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/04(水)15:26 ID:Vo5laslH(1/2) AAS
>>115
(引用開始)
>>111
>「実数から実数への連続関数は
> すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
>だったろ？ ここで有限区間の指定なし
「有限区間」というだけでは一様連続性は言えないぞ
例えば、開区間(a,b)では「連続ならば一様連続」とはいえない
(引用終り)
ふっふ、ほっほ
こんな話は、世の中 至る所に落ちていて
例えば 下記の ハテナブログ Branched Evolution Competitive Programming in Python 2020-08-16
”一様連続関数を完備化した空間に拡張する”を、ごらんあれ ｗ ；ｐ）
下記では、”有限区間の指定なし”！！
つまり、『一様連続関数を完備化した空間に拡張する』が、定理として成り立つ
有限区間[a,b]の指定は本質ではない
『高木先生は おそらく 教育的配慮から 問題をグレードダウンしているのだろうね』(>>111より)
下記の ハテナブログ を百回音読してね
その後、>>111を 読み返せ！ｗ
なお、下記 ハテナブログ では 実数値関数を扱っているが
複素数値関数 f:X→C (Cは複素数の集合)
でも同様だな （君のレベルが上がれば それが分かるだろう ；ｐ）
『問(5)も、問(6)も、実数の定義から分かる基本問題』>>117かよｗ
君は、さすが ”学部１年の１日目で詰んだ男”と言われるだけあるわｗ ；ｐ）
追伸：
下記 最後の”また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．”が、>>83の 問（5）な （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ:evolite.ｈａｔｅｎａｂｌｏｇ.com/entry/20200816/1597542858
Branched Evolution Competitive Programming in Python
2020-08-16
一様連続関数を完備化した空間に拡張する
関数解析 集合と位相
距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．
補題： 略す
定理
距離空間
(X,d) 上に定義された一様連続関数
f:X→R は
(X,d) の完備化
(X^,d^) 上の一様連続関数
f^ :X^ →R に一意的に拡張できる．
証明
X は X^ の稠密な部分集合として埋め込めるから，
x∈X^ に収束する
X の点列
{xn} がとれる．
{xn} は収束するから，Cauchy 列であり，補題より
{f(xn)} も Cauchy 列である．
R の完備性より，
{f(xn)} は収束し，その収束先は点列
{xn} のとり方によらないから，
f^ を f^ (x)=lim n→∞ f(xn) で定義できる．
また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．
参考
Aliprantis, Charalambos D., Border, Kim, Infinite Dimensional Analysis
121(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/04(水)15:53 ID:Vo5laslH(2/2) AAS
>>120 追加
>なお、下記 ハテナブログ では 実数値関数を扱っているが
>複素数値関数 f:X→C (Cは複素数の集合)
>でも同様だな
>>83より 再録
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.iwanami.co.jp
第1章 基本的な概念
練習問題（1）
ここにある下記の問題だね
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．
問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)
ここ、”二次元以上でも同様である”を考えると
１変数複素関数論 C→C
でも、多変数複素関数論
C^n→C
でも 同様に ハテナブログ >>120 の命題 は、成り立つ
しかし、解析概論 第一版緒言 下記
”全書式”を避けて、少し工夫して 命題をグレードダウンしたってことでしょう （＾＾
2chｽﾚ:math
解析概論 第一版緒言
全書式ともいうべきものは，約言すれば数学現状の展覧会で，精粗錯雑，玉石
同架である．それは玄人向きで，解析概論においてはまずは問題外であろう．解析概論におい
て，最も理想的な方法は，理論の大局においては講義式，細節においては教本式にのっとって，
なおその上に慾を言えば，全書式の各部門からなるべく多くのサンプルを取入れて，全体を具
合よく調合するのであろうが，具合よくというところに無限の要求がある．このような理想を
念頭に置きつつ,本書を書きは書いたが，もとより具合よくはいかないで校了の後・・・略す
(引用終り)
122: 信長 06/04(水)17:55 ID:7pyPA4va(1/2) AAS
>>120
>”一様連続関数を完備化した空間に拡張する”を、ごらんあれ
>『一様連続関数を完備化した空間に拡張する』が、定理として成り立つ
>定理
>距離空間(X,d) 上に定義された一様連続関数 f:X→R は
>(X,d) の完備化(X^,d^) 上の一様連続関数 f^ :X^ →R に
>一意的に拡張できる．
うむ、これはもちろん間違ってない、が・・・
Q上の一様連続関数でない連続関数は
R上の一様連続関数でない連続関数に
決して拡張できない、とはいえない
Q上一様連続でなくとも
任意の有界閉区間内で一様連続であれば
R上の連続関数に一意的に拡張でき
任意の有界閉区間内で一様連続である
まさか、おぬし
「任意の有界閉区間内で一様連続であれば
全体でも一様連続だ」
とかいわんだろうな？
そりゃ
「局所コンパクトならコンパクト」
というくらいたわけた発言じゃ
ふっふっふ、ほっほっほ
126(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/05(木)18:14 ID:RwvI7Q/q(2/2) AAS
>>120 追加
>こんな話は、世の中 至る所に落ちていて
google検索：大学 pdf 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる
で、大学の講義用 pdf が見つかるよ
AIだけじゃなく 裏付けの検索能力を 向上させようね （＾＾
＜結果より抜粋＞
１）
外部ﾘﾝｸ:www.rimath.saitama-u.ac.jp
埼玉大学 大学院理工学研究科 数理電子情報専攻 数学プログラム 理学部 数学科
外部ﾘﾝｸ[html]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
福井 敏純 のページ
外部ﾘﾝｸ:www.rimath.saitama-u.ac.jp
講義ノートなど
集合と位相空間入門（2008年）の講義ノート
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
集合と位相空間入門 福井敏純
P122
9.3 一様連続
定理9.3.3 Xを距離空間，Yを完備距離空間とする．Xの稠密集合Aからの写像f：A→Yが一様連続ならば，
fは写像F：X→Yに一意に拡張する．
更に，Fも一様連続となる
証明 概略のみ示す．x∈Xに収束するAの点列(an)をとる．点列(an)はCauchy列なので点列(f(an))もCauchy列であり，
ある点y∈Yに収束する．yは点列(an)の選び方によらずに定まる．■
２）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.tsukuba.ac.jp
福島竜輝 筑波大学 数理物質系 数学域
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.tsukuba.ac.jp
関数解析講義ノート
筑波大学で2020年度から2024年度まで担当していた「関数解析」の講義ノートです．
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
関数解析講義ノート 福島 竜輝 March 28, 2025
P54
9.3 汎弱収束による点列前コンパクト性
・・・を満たすので，{xk}k∈N 上で一様連続です．
したがって距離空間の一般論
「稠密な部分集合の上で一様連続な関数は，一意的に全体に連続拡張できる」
を使って，ϕ:X →Cという連続線型汎関数が定まります．
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