ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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83: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/31(土) 11:50:33.16 ID:GXFm2WhE

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前スレ463より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/463
帰りの 駅の 書店で 杉浦 解析入門I を見てきたが
”「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”
は無かった
”トマエ関数、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数”は 載っていた
（トマエ関数の名前無しで、ただ関数の定義だけが）
杉浦 解析入門I には 載ってないってことは、他の本にもなさそうかな
あとは、高木本だが いま 高木本は 書店の店頭には 並んでいないのです
休みに図書館で取り寄せて貰おうかな ；ｐ）
(引用終り)

なお、前スレ399
"では、わかってるかどうか質問
「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
これ本当？　本当としてその証明示せる？" が、最初だった

これ 本が来ました
https://www.iwanami.co.jp/book/b265489.html
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
https://www.iwanami.co.jp/files/moreinfo/0052090/mokuji.pdf
第1章 基本的な概念
練習問題（1）

ここにある下記の問題だね
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．

問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)

細かい議論は、前スレの399から 463まで ご参照
さすが、高木貞治 解析概論 だね。ちゃんとあるね（いまどきの本では、なかなか載ってなかった）
なお、上記の通り 問（5）と 問（6）とを、ペアで学習し 覚えておくことだね
（つーか、問（5）は 問（6）の前座だな　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/83

111: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/02(月) 15:24:23.93 ID:ge6+WwpB

>>110
>[a,b]は閉区間、したがって閉区間、しかも有界
>そして、大学１年で微分積分を習得し、理解した者なら、
>でも知っていて当然の定理がある！
>定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）
>I を有界閉区間，f:I→Rを連続関数とする。このとき，f は一様連続である。
>したがって、出題の条件から必然的に一様連続である！

ふっふ、ほっほ
血迷ったか？

１）最初はぐー だよｗ
　　>>83より 前スレ399
"では、わかってるかどうか質問
「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
これ本当？　本当としてその証明示せる？" が、最初だったろう？
　だったろ？ ここで有限区間の指定なし

その証明も 前スレ442より 下記のstackexchange answered May 3, 2013 Gyu Eun Lee の通りだ
(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang

answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee
Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.

２）さて おれが常に心掛けているのは、数学の証明というのは、しばしば複数あって
　その各証明 というものは、背景には数学の構造があって、それを反映したものなのだよ
　証明から 背後の数学の構造を感じ取れるか？ 看破できるかどうか？ だ

３）でな、高木先生は おそらく 教育的配慮から 問題をグレードダウンしているのだろうね
　だが、君の本来の設問は 上記の通りで、 閉区間と 有界の設定なしだろう？
　つまり、上記”「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
　これ本当？”（これは 君自身の書いたこと）を、百回反芻してくださいね （＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/111

120: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/04(水) 15:26:48.99 ID:Vo5laslH

>>115
(引用開始)
>>111
>「実数から実数への連続関数は
>　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
>だったろ？ ここで有限区間の指定なし
「有限区間」というだけでは一様連続性は言えないぞ
例えば、開区間(a,b)では「連続ならば一様連続」とはいえない
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
こんな話は、世の中 至る所に落ちていて
例えば 下記の ハテナブログ Branched Evolution Competitive Programming in Python 2020-08-16
”一様連続関数を完備化した空間に拡張する”を、ごらんあれ ｗ ；ｐ）

下記では、”有限区間の指定なし”！！
つまり、『一様連続関数を完備化した空間に拡張する』が、定理として成り立つ
有限区間[a,b]の指定は本質ではない
『高木先生は おそらく 教育的配慮から 問題をグレードダウンしているのだろうね』(>>111より)

下記の ハテナブログ を百回音読してね
その後、>>111を 読み返せ！ｗ

なお、下記 ハテナブログ では 実数値関数を扱っているが
複素数値関数 f:X→C (Cは複素数の集合)
でも同様だな （君のレベルが上がれば それが分かるだろう ；ｐ）

『問(5)も、問(6)も、実数の定義から分かる基本問題』>>117かよｗ
君は、さすが ”学部１年の１日目で詰んだ男”と言われるだけあるわｗ ；ｐ）

追伸：
下記 最後の”また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．”が、>>83の 問（5）な （＾＾

(参考)
https://evolite.ｈａｔｅｎａｂｌｏｇ.com/entry/20200816/1597542858
Branched Evolution Competitive Programming in Python
2020-08-16
一様連続関数を完備化した空間に拡張する
関数解析 集合と位相

距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．

補題： 略す

定理
距離空間
(X,d) 上に定義された一様連続関数
f:X→R は
(X,d) の完備化
(X^,d^) 上の一様連続関数
f^ :X^ →R に一意的に拡張できる．

証明
X は X^  の稠密な部分集合として埋め込めるから，
x∈X^  に収束する
X の点列
{xn} がとれる．
{xn} は収束するから，Cauchy 列であり，補題より
{f(xn)} も Cauchy 列である．
R の完備性より，
{f(xn)} は収束し，その収束先は点列
{xn} のとり方によらないから，
f^ を f^ (x)=lim n→∞ f(xn) で定義できる．
また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．

参考
Aliprantis, Charalambos D., Border, Kim, Infinite Dimensional Analysis

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/120

121: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/04(水) 15:53:51.17 ID:Vo5laslH

>>120 追加
>なお、下記 ハテナブログ では 実数値関数を扱っているが
>複素数値関数 f:X→C (Cは複素数の集合)
>でも同様だな

ここ、”二次元以上でも同様である”を考えると
１変数複素関数論 C→C
でも、多変数複素関数論
C^n→C
でも 同様に ハテナブログ >>120 の命題 は、成り立つ

しかし、解析概論 第一版緒言 下記
”全書式”を避けて、少し工夫して 命題をグレードダウンしたってことでしょう （＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746580795/224
解析概論 第一版緒言
全書式ともいうべきものは，約言すれば数学現状の展覧会で，精粗錯雑，玉石
同架である．それは玄人向きで，解析概論においてはまずは問題外であろう．解析概論におい
て，最も理想的な方法は，理論の大局においては講義式，細節においては教本式にのっとって，
なおその上に慾を言えば，全書式の各部門からなるべく多くのサンプルを取入れて，全体を具
合よく調合するのであろうが，具合よくというところに無限の要求がある．このような理想を
念頭に置きつつ,本書を書きは書いたが，もとより具合よくはいかないで校了の後・・・略す
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/121

154: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/11(水) 13:50:18.10 ID:181R6eWz

>>148 補足
(引用開始)
>このことに言及する気にまったくなれない自分は
全くですね
”このこと”とは、>>145の”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”
ですが、私も全く同様で、必要がないと思います
(引用終り)

そもそも>>83より再録
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
https://www.iwanami.co.jp/files/moreinfo/0052090/mokuji.pdf
第1章 基本的な概念
練習問題（1）
ここにある下記の問題だね
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．
問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)

ここで
問（5）は、条件”[a,b]において連続”であるので
f(x)’＝f(x)-g(x) とおくと （>>106に書いたが）
相等しい値を取る → 定数関数として f(x)’≡0 を証明すれば良い となる
直ちに分かることは、”（定数関数は一様連続関数）”が使えること（ (参考)wiis https://wiis.info/math/real-number/function/uniform-continuity-of-functions/ ）

問（6）は、大定理で 一般の完備な空間の中の稠密部分において 一様連続関数が 完備な空間に延長できる
の 一つの系 に落とした 問いだということ（この話はすでに>>126に書いた）

昔の大学への数学のコラムで「大学入試問題が、大学学部の大定理の一つの簡単な系が問題のネタ」というのがあった(高校数学内で解ける)
それの類似だろうさ

問（5）（6）どちらも、”区間[a,b]”に限らずとも 成り立つ命題だ （数学的には ”区間[a,b]”は不要！）
高木先生は、教育的配慮で、一つの系 ”区間[a,b]”に落として 問（5）（6）を設定していると見るのが相当
だから、大学学部１年の１日目で詰んだオチコボレさんは以外の 大学学部卒業生は”区間[a,b]”を ”陽”に使わない証明を基本線として考えるべし！
（繰り返すが この話はすでに>>126に書いた）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/154

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/14(土) 20:32:23.57 ID:036MevG8

>>175
ふっふ、ほっほ
さずが、学部1年の1日目で詰んだ アホの数学科オチコボレさん

>>83 より再録
https://www.iwanami.co.jp/book/b265489.html
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
https://www.iwanami.co.jp/files/moreinfo/0052090/mokuji.pdf
第1章 基本的な概念
練習問題（1）
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．

ここで、高木は おそらく教育的配慮から（本は図書館へ返却して手元にないが、
練習問題（1）の前の記載 ”第1章 基本的な概念”の本文記述の都合で）
”区間[a,b]”に限定した 問（5）、問（6）の設定としたのだろう

では、この”区間[a,b]”の設定を外して
抽象的な距離空間で 同様の命題が成り立つか否か？
これは、自然な設問として 誰しも考えることだろう

その答えが、>>173-174 であり >>165-166だということよ
従って、いま必要なことは、アホぼけの オチコボレさんと、バカ数学問答をすることではなく
まず、>>173-174 ＆ >>165-166 を読み込むべし ってことだ

オチコボレさんは、数学イップスが治癒しかかっているが
いまだ完治せず らしい
>>173-174 ＆ >>165-166 が、読めないらしいｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/176

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