ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
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258: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 10:16:55.23 ID:HQSTLRKE

>>256
ありがとう
良い突っ込みだね

”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ”は、省略形です

まあ、>>255で引用した 石井の頂本を読んで貰えば 省略されていることは
全部記述があるよ （別に 石井の頂本以外の該当箇所でも可）
ちゃんとしたガロア本の成書で補うべし、そういう前提で書いている
念のため、ガロア群 ja.wikipediaを引用しておく

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
略
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
(引用終り)

>「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
>というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？

そこも、興味深いツッコミだが
齟齬は　全く生じていないと思うよ
下記をご参照

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7
アーベル拡大
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。
円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。

https://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/kronecker-weber-1
tsujimotterのノートブック
2017-07-02
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/258

261: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 10:57:21.95 ID:HQSTLRKE

>>258 追加

検索ヒットしたので、メモ貼る
河田 敬義 数学/6 巻 (1954-1955) は、クラシックだがムズイね
P-14虚数乗法とKroneckerの青春の夢 佐々木隆二（日大理工・教員・数学）は、短いから チラ見できる
中野伸 先生 代数II（2022 年度版）も 良いんじゃない （＾＾

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/6/3/6_3_129/_article/-char/ja/
数学/6 巻 (1954-1955) 3 号/書誌
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について
河田 敬義

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf
類体論の源流 \S 1 （1998）
RIMS, Kyoto University
三宅克哉 著哉 (東京都立大学理学研究科)
· 1998 — 1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した. クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の. 罵 ...
25 ページ

https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/
平成 23 年度　日本大学理工学部　学術講演会論文集
https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/html/program/bu_16.html
P:数学系部会 (ここの数字 ”P-14”とかに pdfへのリンクがある)
P-14虚数乗法とKroneckerの青春の夢
○寺島三晴・上石冬華・吉崎哲也（日大理工・院（前）・数学）・佐々木隆二（日大理工・教員・数学）
https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/pdf/P-14.pdf
Abstract 1 Kronecker-Weberの定理 1379 P-14
この定理は, 有理数体の全ての有限アーベル拡大は円. 分体に含まれる事を意味している. これを発展させて, 基. 礎体 Q を虚二次体, 即ち Q(i) 等の Q の二次拡大 ...
2 ページ

（これは ガロア理論のご参考）
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/
中野　伸
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2022/2022book.pdf
代 数 II
2022 年度版
　中野　伸
（学習院大学・理学部・数学科）
目 次
§11. ガロア対応 . . . . 41
§13. クンマー拡大 .  . . 49
§14. 可解性
Ｐ55
定理 14.9 (ガウス) n を自然数とし，ζ を 1 の原始 n 乗根とすると，任意の体
K に対して ζ は K 上ベキ根で表される

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/261

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