ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (452ﾚｽ)
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240: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/28(土) 13:30:15.21 ID:Om34p0pv

>>238
>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>「原始根に相当する指数の根」　何それ　大丈夫？君

やれやれ
馬脚だよｗ ；ｐ）

一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
正の有理数 q≠1 についてのn乗根では 直接には原始n乗根は存在しない（クンマー拡大になる） ；ｐ）

(参考)
(google)検索：1の冪根と原始根との関係
1の冪根
Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 ...

さらに
(google)AI による概要 (AI の回答には間違いが含まれている場合があります)
1の冪根と原始根は密接に関連しています。1のn乗根とは、n乗すると1になる数のことで、その中でも、n乗して初めて1になるものを原始n乗根と呼びます。原始n乗根は、1の冪根全体を生成する役割を持ち、数論や複素解析で重要な概念です。
1の冪根 (1のn乗根)
1のn乗根とは、複素数zであって、zのn乗が1になるもの、つまり、z^n = 1 を満たすzのことです。
例えば、1の2乗根は1と-1、1の3乗根は1と(-1+√3i)/2と(-1-√3i)/2です。
1のn乗根は、複素数平面上で原点を中心とする半径1の円周上に等間隔に並びます。
原始n乗根
1のn乗根のうち、1以外のすべての冪乗が1にならないものを原始n乗根と呼びます。
例えば、1の2乗根のうち、原始2乗根は-1だけです。1は1乗すると1になってしまうので原始2乗根ではありません。
原始n乗根は、1のn乗根全体を生成する役割を持ちます。つまり、原始n乗根のk乗（kはnと互いに素な整数）をとることで、1のn乗根をすべて得ることができます。
原始n乗根は、数論や複素解析において、周期関数や群構造を理解する上で重要な役割を果たします。
関係
1のn乗根は、原始n乗根を生成元として、それらの整数乗で表すことができます。
例えば、1の12乗根は、原始12乗根の1乗、5乗、7乗、11乗で生成されます。
原始n乗根は、nが素数の場合、n-1個存在します。nが合成数の場合、原始n乗根の個数はオイラー関数で与えられます。
例
1の6乗根は、1, -1, (1+√3i)/2, (1-√3i)/2, (-1+√3i)/2, (-1-√3i)/2 の6つです。
このうち、原始6乗根は、(-1+√3i)/2 と (-1-√3i)/2 の2つです。これらの原始6乗根の2乗、3乗、4乗、5乗、6乗を計算すると、1の6乗根をすべて得ることができます。
<関連リンク>
1の冪根 - Wikipedia
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primit...
Wikipedia
１のｎ乗根がべき根で解けることの証明を分かりやすく解説
2023/05/30 — １のｎ乗根とは、簡単に言えば、ｎ回かけて１になる数のことです。 の場合が最も分かりやすいと思います。...
マスタノ！〜数学の楽しみ方
初等整数論/原始根と指数 - Wikibooks
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http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/240

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