ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/
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230: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:42:34.87 ID:4S+Arcik >>224 2. 必要性の証明（解が四則演算とべき根で表せる ⇒ ガロア群が可解群） 設定 f(x)∈K[x] の解が、( K ) の元を用いた四則演算とべき根で表せると仮定。 つまり、解は体 K に有限回のべき根の添加で得られる体 M （すなわち、M=K(α1,α2,…,αk))であり、αi^ni∈K(α1,…,αi−1)） に含まれる。 L は f(x) の分裂体で、K⊆L⊆M。 証明のアイデア べき根の添加で構成される体拡大は、ガロア群が可解群であるような拡大に対応する。 M/K のガロア群が可解群であれば、部分拡大 L/K のガロア群も可解群である（可解群の部分群および商群は可解）。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/230
231: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:43:17.85 ID:4S+Arcik >>230 ステップ1：べき根添加のガロア群 各拡大 K(α1,…,αi)/K(α1,…,αi−1) は、αi^ni∈K(α1,…,αi−1) による拡大。 この拡大はクンマー拡大であり、ガロア群は巡回群（位数 ni のアーベル群）またはその部分群である（原始根が適切に含まれる場合）。 よって、M/K は一連の巡回拡大の合成であり、ガロア群 Gal(M/K) は巡回群の拡張として可解群である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/231
234: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:47:06.59 ID:4S+Arcik >>224 結論 十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。 必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。 よって、定理が証明された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/234
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