ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (459ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/
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227: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:37:20.37 ID:4S+Arcik >>226 ステップ2：拡大の連鎖 正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。 各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。 最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/227
228: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:38:21.44 ID:4S+Arcik >>227 ステップ3：解の表現 f(x) の解は L の元であり、L は K から四則演算（体の基本演算）とべき根の添加の繰り返しで構成される。 各べき根 α は x^ni−a=0 の解であり、a∈Ki。 これを繰り返すことで、f(x) の根は K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/228
229: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:41:30.11 ID:4S+Arcik >>225 補足：原始根の添加 （注：ここの箇所はGrokの文章を修正している 修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた 修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正 修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが このままだと循環論法なので、以下文章を追加した） もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。 体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、 ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。 (x^ni−1)/(x-1)のガロア群は(Z/ni)×と同型であり、可解群であるので 体Kiの標数が 0 もしくは (Z/ni)×の位数と素であるなら、 >>226-228のステップ１、２，３により、上記の方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。 （注：(Z/ni)×はZ/niと異なる） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/229
234: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:47:06.59 ID:4S+Arcik >>224 結論 十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。 必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。 よって、定理が証明された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/234
237: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/28(土) 11:46:17.72 ID:Om34p0pv >>236 ご苦労さまです ありがとうございます スレ主です Grokさんは、”知識”という意味では 賢い（多数文献を読んで 上澄みを出力するという意味で） が、「理解」という概念は、軽々しく使わないのが良いだろうと これを読んで思う >>223-235のGrokを批判すれば 1）まずは、有理数体Qの場合に限って 代数方程式ガロア理論を説明すれば良いところだが（標数pの場合は それが済んでから） そういう区別ができないらしい（多数の文献読んで ぐしゃぐしゃｗ） 2）ご指摘のように(>>236) 多分 Grokは原始根の意味が分ってない 例えば 「ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる」>>227とか イミフ つまり、原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが しばしば人は、略して（用語の濫用） ”原始根”と称することがあるのです。それ、理解できないんだろうね ；ｐ） 3）そもそも、有理数体Qが標数0だと「理解」しているかどうか？ そこから疑問だし、標数の意味さえあやしいかも それが、いまのGrokの限界だろう (参考) https://manabitimes.jp/math/842 高校数学の美しい物語 原始根の定義と具体例（高校生向け）2021/03/07 https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/ 中野伸研究室 学習院 https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/ 「代数入門」(2016)の資料 https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2014.html 「代数入門」(2014)の資料 https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2014/10.pdf 第10章 原始根 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/237
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